¿Cuál es el significado geométrico de$\ i^i $?

Question

¿Cuál es el significado geométrico de $ i^i $ ? ¿Hay algún significado?

Si escribo $ i= e^{i* \pi/2}$, I se $ i^i = e^{- \pi/2}$.
Pero si escribo $ i= e^{5i \pi/2}$ I obtener su valor $e^{-5 \pi/2}$.

Desde $i^i$ no puede ser definida de forma única, a mí me parece que no debería ser definida. También, lo geométrico operación está pasando aquí?

En caso de que esta se define, ¿me puede mostrar cualquiera de sus aplicaciones?

Answer 1

$i^i$ es multivalor!

Primero, necesitamos los logaritmos de $i$ . Son dados por

$\log i =\log|i|+i \arg i+2k \pi i=\frac{i \pi}{2}+2 k \pi i$ con $k \in \mathbb Z.$

Entonces nosotros tenemos

$i \log i=\frac{- \pi}{2}-2 k \pi $ con $k \in \mathbb Z.$

Por lo tanto

PS

Answer 2

El problema se reduce a cómo se definen $u^w$ cuando $u$ e $w$ ambos son nonreal números complejos. La única manera sería $\exp(w\log(u))$, donde estoy escribiendo $\exp(z)$ para $e^z$. No hay problema en la definición de las $\exp(z)$, es buena en todas partes de la función definida por. Pero que no se puede decir para el logaritmo, como usted probablemente sabe. Usamos el registro, con la debida cautela, porque no tiene una definición coherente para todos distintos de cero de los números complejos. Eso significa que, para $\log(z)$, la elección de uno de la infinidad de los números de $w$ tal que $\exp(w)=z$.

Lo mismo para $u^w$: no está bien definido, pero mientras estamos conscientes de que hay un número infinito de valores posibles, podemos ser capaces de utilizar la expresión fructífera. Pero siempre con cuidado.

Answer 3

Consideremos la expresión

$$z^i$$ for some complex $z$, and let $z=re^{i\theta}$.

Utilizando el logaritmo, tenemos

$$z^i=e^{i(\log r+i\theta)}=e^{-\theta+i\log r}.$$

Este es un número complejo, vamos a $se^{i\phi}$ con

$$s=e^{-\theta},\\e^{\phi}=r.$$

Estas dos relaciones describir espirales logarítmicas, con la orientación opuesta.

Para la construcción de $z^i$,

• dibujar la espiral logarítmica (azul);

• dibujar el vector $z^*$ (conjugado, verde);

• dibuje la línea de apoyo de $z^*$ (verde) y cruzan la espiral, para obtener el módulo;

• dibujar un círculo centrado en el origen, a través de $z^*$ (verde), y cruzan la espiral, para obtener el argumento;

• el pidió $z^i$ es la intersección (rojo) del círculo por el primer punto (naranja) y la línea por la segunda (naranja).