Necesito ayuda para resolver $$u_t+[u(1-u)]_x=0$$ con condiciones iniciales $$u(x,0) = \begin {cases} 0.75 & |x|<0.5 \\ 0 & else \end {cases} $$ Estoy tratando de usar el método de las características pero tengo problemas con la parte de la onda de rarefacción.
Primero, podemos reescribir el PDE como $$u_t+(1-2u)u_x=0$$ Por lo tanto, tenemos $$ \frac {dx}{dt}=1-2u$$ y sabemos que las características son constantes porque $$ \frac {d u(x(t),t)}{dt}= \frac { \partial u}{ \partial t} + \frac { \partial u}{ \partial x} \frac {dx}{dl t} = u_t+u_x(1-2u)=0$$
Por lo tanto, tenemos $$ \frac {d}{dt} \frac {dx}{d t}=1-2u(x,t)=1-2u( \xi ,0)$$ y la solución de esto da $$x=(1-2u)t+ \xi $$
Por lo tanto, tengo que hay características que tienen pendiente $1-2u( \xi ,0)$ así que la pendiente es de 1 para $x \leq -0.5$ y $x \geq -0.5$ y tenemos la pendiente -2 para $-0.5<x<0.5$ .
Así que, hay una conmoción en $x=-0.5$ . La propagación se puede encontrar como $$s'= \frac {0(1-0)-0.75(1-0.75)}{0-0.75}=1/4$$ Así que la característica se propaga como $$ \frac {dx}{dt}=1/4$$ $$x(0)=-0.5$$ y tenemos $x(t)=-0.5+t/4$ .
Luego hay un fanático de la rarefacción en $x=0.5$ . Creo que empieza en $x=-t/2 +0.5$ y termina en $x=t+0.5$ . Aunque me está costando mucho entender cuál es la ecuación para el fanático.
Así que mi solución es $$u(x,t) = \begin {cases} 0 & x<-0.5+t/4 \\ 0.75 & -0.5+t/4 \leq x \leq -t/2+0.5 \\ rarefaction & -t/2+0.5<x<t+0.5 \\ 0 & x \geq t+0.5 \end {cases} $$ Apreciaría mucho que me ayudaran a definir la parte del fanático de la rarefacción. He intentado variaciones de $ \frac {x-0.5}{t}$ y $ \frac {t+x-0.5}{t-0.5}$ pero no parecen funcionar bien.
Gracias.
