Cobertura universal de una variedad hiperbólica no necesariamente completa.

Question

El Cartan-Hadamard teorema (como normalmente indicado) nos dice que la universalización de la cobertura de un geodesically completa y conectada de Riemann colector $M$ con los no-positivo de la sección transversal de la curvatura es diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$.

Si $M$ es un hiperbólico colector (negativa constante de la sección transversal de la curvatura) que es incompleto, aun así, podemos concluir que la universalización de la cobertura será diffeomorphic a $\mathbb{R}^n$? Si es así, hay una referencia de este hecho?

Por ejemplo, podríamos tener un hiperbólica completa del colector y de la punción mediante la eliminación de un punto de obtener incompleta, o podríamos cortar la hiperbólica completa colector en dos a lo largo de una separación de hipersuperficie si existe.

Answer 1

Tome el plano hiperbólico $\mathbb H^n$ y elimine un punto. Si $n> 2$ está simplemente conectado y, por lo tanto, es la cobertura universal de sí mismo.