¿Está$f(x) = \sum_{n\geq 1} \frac{\cos n x }{\sqrt{n}}$ monotónico en$(0,0.1)$?

Question

Es la función de $f$ definido por$$f(x) = \sum_{n\geq 1} \frac{\cos n x }{\sqrt{n}}$$ monotonic on the interval $(0,0.1)$? Por Dirichlet de la prueba, la serie converge en este intervalo.

Definir un monótonamente decreciente de la función?

He intentado trazar su gráfica. Parece que de hecho es monotónica. Pero como en valores numéricos, que sólo puede tomar un número finito de términos, en el gráfico se muestra siempre algunas oscilación cerca de $x =0$ (la serie no es uniformemente convergente en el intervalo), así que creo que la respuesta decisiva sólo puede venir de analytics.

Este problema viene de mi investigación.

Tengo curiosidad de saber si algunos de los análisis asintótico será útil.

A continuación la gráfica de la función. He tomado 1000 términos.

Answer 1

El uso de una suma de Riemann, $t=nx$ e $\mathrm{d}t=x$. Como $x\to0$, $$ \begin{align} f(x) &=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{\sqrt{n}}\\ &=\frac1{\sqrt{x}}\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{\sqrt{nx}}x\\ &\sim\frac1{\sqrt{x}}\int_0^\infty\frac{\cos(t)}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\\ &=\sqrt{\frac\pi{2x}} \end{align} $$ El uso de Riemann-Stieltjes de la integración: $$ \begin{align} f(x) &=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{\sqrt{n}}\\ &=\int_{0^+}^\infty\frac{\cos(tx)}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}(t-\{t\})\\ &=\int_{0^+}^\infty\frac{\cos(tx)}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t -\int_{0^+}^\infty\frac{\cos(tx)}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}\{t\}\\ &=\frac1{\sqrt{x}}\int_0^\infty\frac{\cos(t)}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t -\int_0^\infty\frac1{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}\{t\}+O\!\left(x^2\right)\\ &=\sqrt{\frac\pi{2x}}+\zeta\!\left(\tfrac12\right)+O\!\left(x^2\right) \end{align} $$ Si seguimos de esta manera, obtenemos $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac\pi{2x}}+\zeta\!\left(\tfrac12\right)-\frac{\zeta\!\left(-\tfrac32\right)}2x^2+\frac{\zeta\!\left(-\tfrac72\right)}{24}x^4+O\!\left(x^6\right) $$

Answer 2

El uso de la representación integral de la polylogarithm, $$f(x) = \sum_{n \geq 1} \frac {\cos n x} {\sqrt n} = \frac 1 2 \operatorname{Li}_{1/2}(e^{i x}) + \frac 1 2 \operatorname{Li}_{1/2}(e^{-i x}) = \int_1^\infty \frac {t \cos x - 1} {t \sqrt {\pi \ln t \,} (1 - 2 t \cos x + t^2)} dt, \\ f(x_2) - f(x_1) = (\cos x_2 - \cos x_1) \int_1^\infty \frac {t^2 - 1} {\sqrt {\pi \ln t \,} (1 - 2 t \cos x_1 + t^2) (1 - 2 t \cos x_2 + t^2)} dt.$$ La última integrando es positivo en $(1, \infty)$, por lo tanto, $f$ es monótonamente decreciente en $(0, \pi)$.