$\int_{0}^{\pi }{\ln \left( 1-2a\cos x+{{a}^{2}} \right)\cos \left( nx \right)dx}$

Question

Esta integral no me parece fácil de averiguar

$$\int_{0}^{\pi }{\ln \left( 1-2a\cos x+{{a}^{2}} \right)\cos \left( nx \right)dx}$$ para $n=1,2,3,...$ y $a\in\mathbb{R}$ . Empiezo a pensar en usar esto $f(x)=f(\pi-0+x)$ con integrales para ambos lados pero nunca me ayudo en nada , entonces cambio a induccion para obtener alguna formula tambien fallo . Como resultado, ¿hay algún atajo para resolver este ejercicio?

Answer 1

Supongamos que $|a|<1$ . Entonces $$ \begin {align} \log(1-2a\cos x+a^2) &= \log((1-ae^{ix})(1-ae^{-ix}))\\ &= \log{(1-ae^{ix})}+\log(1-ae^{-ix}) \\ &= -\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}a^k (e^{ikx}+e^{-ikx})\\ &= -2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k} \cos{kx}.\tag1\end {align}$$

Obsérvese que por la prueba de Dirichlet la serie $(1)$ converge para $|a|=1$ también excepto en los siguientes puntos: $$ \begin{cases} a=1,& x=2n\pi;\\ a=-1,&x=(2n+1)\pi, \end{cases}\quad n\in\mathbb Z. $$ Esta divergencia en un conjunto de una medida $0$ sin embargo no importa para la integración posterior, de modo que $|a|\le1$ se asumirá.

Así: $$ \int_0^\pi\log(1-2a\cos x+a^2)\cos nx\, dx=-2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k}\int_0^\pi \cos{kx}\cos nx\, dx=-\frac {a^n}n\pi.\tag2 $$

Para $|a|>1$ podemos escribir: $$ \log(1-2a\cos x+a^2)=\log(1-2a^{-1}\cos x+a^{-2})+\log a^2, $$ de modo que tras la integración se obtiene la expresión ya conocida $(2) $ con $a $ sustituido por $a^{-1}$ ya que la integración sobre $\log a^2\cos nx$ resulta en $0$ .

Así, finalmente $$\int_0^\pi\log(1-2a\cos x+a^2)\cos nx\, dx=-\frac\pi n\times\begin{cases} a^n,& |a|\le 1,\\ a^{-n},& |a|>1.\\ \end{cases} $$