¿Por qué este truco para derivar la fórmula para$[A^n,B]$ en términos de conmutadores repetidos funciona tan bien?

Question

Es un resultado conocido que, dado genéricamente noncommuting operadores de $A,B$, tenemos $$ A^n B=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \operatorname{ad}^k(A)(B) A^{n-k},\tag A $$ donde $\operatorname{ad}^k(A)(B)\equiv[\underbrace{A,[A,[\dots,[A}_k,B]\dots]] $.

Esto puede ser demostrado por ejemplo a través de la inducción con no mucho trabajo.

Sin embargo, mientras que tratando de obtener una mejor comprensión de esta fórmula, me di cuenta de que hay una manera mucho más fácil derivar, al menos de una manera formal, a nivel intuitivo.

El truco

Deje $\hat{\mathcal S}$ e $\hat{\mathcal C}$ ("shift" y "viajar", respectivamente), que indican que los operadores que actúan sobre las expresiones de la forma $A^k D^j A^\ell$ (denotando por simplicidad $D^j\equiv\operatorname{ad}^j(A)(B)$) como sigue:

\begin{align} \hat{\mathcal S} (A^k D^j A^\ell) &= A^{k-1} D^j A^{\ell+1}, \\ \hat{\mathcal C} (A^{k} D^{j} A^\ell) &= A^{k-1} D^{j+1} A^{\ell}. \end{align} En otras palabras, $\hat{\mathcal S}$ "mueve" la central de $D$ bloque de la izquierda, mientras que $\hat{\mathcal C}$ lo hace "comer" la vecina $A$ factor.

No es difícil ver que $\hat{\mathcal S}+\hat{\mathcal C}=\mathbb 1$, que no es sino otra manera de expresar la identidad $$A[A,B]=[A,B]A+[A,[A,B]].$$ Por otra parte, fundamentalmente, $\hat{\mathcal S}$ e $\hat{\mathcal C}$viaje. Debido a esto, me puede escribir

$$A^n B=(\hat{\mathcal S}+\hat{\mathcal C})^n (A^n B)=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} \hat{\mathcal S}^{n-k} \hat{\mathcal C}^{k}(A^n B),$$ lo que inmediatamente me da (A) , sin necesidad de recursividad o otros trucos.

La pregunta

Ahora, todo esto está bien y dandy, pero me deja duda de por qué este tipo de cosas de trabajo? Parece que, de alguna manera, estoy evitando la molestia de tener que tratar con la falta de trabajo las operaciones de cambio a un espacio de "superoperators", en el que la misma operación se puede expresar en términos de los desplazamientos "superoperators".

Ni siquiera estoy seguro de cómo se podría ir en la formalización de este "superoperators" $\hat{\mathcal S},\hat{\mathcal C}$, como parecen ser los objetos que actúan sobre las "cadenas de operadores" más que en los elementos del álgebra de operadores de sí mismos.

Es allí una manera de formalizar esta forma de manipulación de las expresiones? Es este un método bien conocido en este contexto (yo nunca lo había visto, pero no estoy muy versado en este tipo de manipulaciones)?

Answer 1

Para solucionar algunos de notación, supongamos que los operadores de $A$ e $B$ pertenecen a un espacio vectorial $V$, y que estamos trabajando con cadenas de $m$ operadores. (Por ejemplo, en $A^k D^j A^l$ tenemos $m = k + j + l$). En lugar de escribir un producto de $A^k B^j$ como un elemento de $V$, por el contrario, podemos escribir $$ A^{\otimes k} \otimes B^{\otimes j} = \underbrace{A \otimes \cdots \otimes A}_k \otimes \underbrace{B \otimes \cdots \otimes B}_j \in V^{\otimes m}$$ un elemento de la $m$th tensor de energía de $V$. Tenemos un lineal de la multiplicación de mapa de $\mu: V^{\otimes m} \to V$, que es sólo la composición de los operadores, así, por ejemplo, $\mu(A^{\otimes k} \otimes B^{\otimes j}) = A^k B^j$. Así que la idea será definir $\hat{\mathcal{S}}$ e $\hat{\mathcal{C}}$ lineal de operadores de $V^{\otimes m} \to V^{\otimes m}$, compruebe que viajan y agregar a dar la identidad, y, finalmente, se aplican a un determinado tensor $A^{\otimes n} \otimes B$, lo que le dará una identidad mucho como la que usted está después. La aplicación de la multiplicación $\mu$ le dará la identidad exacta.

La definición de los operadores no es demasiado duro. Podemos tomar $\hat{\mathcal{S}}, \hat{\mathcal{C}} : V^{\otimes m} \to V^{\otimes m}$ a ser definidos por las fórmulas $$ \begin{aligned} \hat{\mathcal{S}}(v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_m) &= v_2 \otimes \cdots \otimes v_m \otimes v_1 \\ \hat{\mathcal{C}}(v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_m) &= v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_m - v_2 \otimes \cdots \otimes v_m \otimes v_1 \end{aligned}$$ A continuación, compruebe que estas fórmulas de hacer lo correcto, por ejemplo, que necesita para asegurarse de que $\mu(\hat{\mathcal{C}}^k (A^{\otimes m-1} \otimes B)) = A^{m-k-1} D^k$ y así sucesivamente.

Con esas definiciones, es fácil ver que $\hat{\mathcal{C}} = \mathbb{1} - \hat{\mathcal{S}}$, y así ellos también viajan, ya $\hat{\mathcal{C}}\hat{\mathcal{S}} = \hat{\mathcal{S}}\hat{\mathcal{C}} = \hat{\mathcal{S}} - \hat{\mathcal{S}}^2$. Así que podemos escribir $$ A^{\otimes n} \otimes B = (\hat{\mathcal{S}} + \hat{\mathcal{C}})^n (A^{\otimes n} \otimes B) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\hat{\mathcal{S}}^{n-k} \hat{\mathcal{C}}^k) (A^{\otimes n} \otimes B)$$ y, finalmente, la aplicación de $\mu$ en ambos lados da la fórmula que usted está después.