Demuestre que esta ecuación no tiene soluciones enteras:$x^p_{1}+x^p_{2}+\cdots+x^p_{n}+1=(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})^2$

Question

Deje que $ p\equiv2\pmod 3$ sea un número primo. Demuestre que la ecuación $x^p_{1}+x^p_{2}+\cdots+x^p_{n}+1=(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n})^2$ no tiene soluciones enteras.

Este problema proviene del capítulo 18 (Problemas del libro), reciprocidad cuadrática. Porque los problemas de este libro no tienen respuesta. Entonces, ¿cómo utilizar estos métodos para resolverlo?

Answer 1

Módulo $2$ , el LHS es congruente con $x_1 + \cdots + x_n + 1$ mientras que el RHS es congruente con $x_1 + \cdots + x_n$ .

Answer 2

Darse cuenta de:

PS

Asi que:

PS

Observe que $$(x_1+...+x_n)^2=x_1^2+...+x_n^2-2\prod_{i,j=1;i>j}^{n}x_ix_j$ para $$1+x_1^p+...+x_n^p\equiv (x_1+...+x_n)^2 \pmod{2} $ entonces:

PS

PS

:)