El factor determinante de los cuadrados mágicos es un múltiplo de 3 cuando se puede usar cualquier número

Question

Estoy tratando de demostrar que el determinante de un cuadrado mágico, donde todas las filas, columnas y diagonales añadir a la misma cantidad, es divisible por 3.

He demostrado que para los cuadrados mágicos que tienen entradas $1,\ldots, 9$, pero resulta que tengo que mostrar para los cuadrados mágicos que pueden tener las entradas, por ejemplo, $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

o $$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

¿Cómo puedo hacer esto? He intentado trabajar el determinante el uso de $a, b,\ldots, i$ como entradas pero no se pudo encontrar.

Gracias!

Answer 1

Permita que los tres filas de los cuadrados mágicos se $r_1$, $r_2$, e $r_3$. Desde el determinante se mantuvo sin cambios por la fila de las operaciones que añadir un múltiplo de una fila a otra, la matriz con filas $r_1$, $r_2$ e $r_1+r_2+r_3$ tiene el mismo determinante. Las entradas en $r_1 + r_2 + r_3$ son la columna sumas de la magia original de la plaza, que son todos iguales a la magia constante. La magia constante, es tres veces la de la central de entrada de los cuadrados mágicos, por lo que cada entrada en esta nueva fila es múltiplo de tres; por lo tanto, el factor determinante es, también.

Answer 2

La recopilación de todos los comentarios de arriba:

Deje $s$ ser la suma de una fila. Esta $s$ debe ser divisible por $3$: Ya que la suma de las dos diagonales a lo largo de la fila y la columna, pasando por el centro es igual a $4s$, pero también es la suma de cada elemento en la matriz, junto con el centro de valor de $c$ adicional de tres veces, que es $3s + 3c$. La equiparación de estos dos da $s = 3c$.

Puesto que todas las filas tienen la misma suma, el vector $(1, 1, 1)^T$ es un autovector de la matriz con autovalor $s$. El factor determinante es (signo) igual a la constante término del polinomio característico. Ya sabemos que el polinomio característico ha $s$ como una raíz, se debe considerar como $$(\lambda - s)g(\lambda)$$ para algunos polinomio $g$ con coeficientes enteros. Especialmente, esto significa que el término constante de $g$ debe ser un número entero, lo que significa que el término constante del polinomio característico (y por lo tanto el determinante) debe ser divisible por $s$.