Deje $\mathcal D$ ser el espacio de $n\times n$ diagonal de las matrices con distinta de cero positivo entradas. Esto ha $n!$ conectado componentes, correspondientes a las maneras de ordenar los elementos en la diagonal. Revisión de un componente conectado a$\mathcal D_0\subset \mathcal D.$ afirmo que el mapa
\begin{align*}
\mu: SO_n\times \mathcal D_0\times O^-_n\to X\\
(U,\Sigma,V)\mapsto U\Sigma V^T
\end{align*}
es una $2^{n-1}$veces suave que cubre el mapa de la conexión de un espacio (por $n\geq 2$). Por lo que se puede invertir a nivel local, pero no tiene la sección global.
$A\mapsto \Sigma(A)$ es por sí misma una función suave, debido a $\Sigma\in\mathcal D_0$ está determinada únicamente. Puede ser vale la pena mencionar que mientras la $k$'th singular valor no es suave arbitrarias de las matrices considerar $\mathrm{diag}(1,t)$ como $t\in(0,2)$ - es Lipschitz continua en singular (es decir, el operador) de la norma. Ver Golub-van Loan, Matriz de Cómputos, Corolario 8.6.2.
A pesar de $\Sigma$ está determinada únicamente por $U\Sigma V^T,$ las matrices $U$ e $V$ no lo son. Si $\mu(U',\Sigma,V')=\mu(U,\Sigma,V)$ entonces $U^{-1}U'$ e $V^{-1}V'$ son iguales y de la forma $\operatorname{diag}(\pm1,\dots,\pm1)$ con un número de $-1$'s - véase, por ejemplo, la respuesta a Cómo es único (no únicos) son U y V en la Descomposición de Valor Singular (SVD)?. Esto explica la $2^{n-1}.$ En resumen: vamos a $\hat U=U^{-1}U'$ e $\hat V=V^{-1}V'^T.$ Entonces $\hat U\Sigma \hat V^T=\Sigma,$ lo $\hat U\Sigma^2 \hat U^T=(\hat U\Sigma \hat V^T)(\hat U\Sigma \hat V^T)^T=\Sigma^2,$ lo que significa que $\hat U$ viajes con $\Sigma.$ Esto obliga a $\hat U$ a ser diagonal. Del mismo modo $\hat V$ es diagonal. Mi intuición es que si $A=U\Sigma V^T$ entonces $U$ ha de mapa estándar de los vectores de la base a la correspondiente a la izquierda vectores singulares de $A,$ y, si hacemos caso de la condición de $\det U=1$ por un momento, hay dos maneras de hacer que para cada vector debido a que sólo el signo es ambiguo. $V$ también ha de mapa estándar de los vectores de la base a la derecha vectores singulares de $A,$ pero la señal ya está determinado por la elección de $U.$
A ver de que se trata de un local diffeomorphism, utilice el teorema de la función inversa. Por una simetría argumento es suficiente para comprobar la derivada en $U=V=1.$ necesitamos comprobar que $(u,s,v)\mapsto D\mu(u,s,v)=u\Sigma + s + \Sigma v$ es un inyectiva lineal mapa, donde $u,v$ son desfase-simétrica y $s$ es diagonal. La diagonal entradas son solo las de $s.$ La $i,j$ entrada $u_{ij} \sigma(j)+\sigma(i) v_{ij},$ e las $j,i$ entrada $u_{ji} \sigma(i)+\sigma(j) v_{ji}=-u_{ij} \sigma(i)-\sigma(j) v_{ij}.$ Desde $\begin{pmatrix}\sigma(j)&\sigma(i)\\-\sigma(i)&-\sigma(j)\end{pmatrix}$ es invertible, podemos recuperar $u_{ij}$ e $v_{ij}$ a partir de estos.
Finalmente, $\mu$ es una cubierta mapa porque cada fibra tiene la misma (finito) de cardinalidad. De hecho, para cualquier $x\in X$ por el local homeomorphism y Hausdorff propiedades, no son disjuntas abrir conjuntos de $U_1,\dots,U_{2^{n-1}}$ cada una asignada diffeomorphically por $\mu$ a (posiblemente diferente) abrir barrio de $x.$ Esto implica que $\bigcap_i\mu(U_i)$ es uniformemente cubierto barrio de $x.$
La forma en que originalmente se pensó en este problema es considerar el mapa de $f:SO_2\to \mathbb R^{2\times 2}$ que envía a$U$ a $U\cdot \mathrm{diag}(2,1)\cdot U^T.$ Esta es una situación un poco diferente, pero tal vez un poco más fácil de visualizar. $f(U)$ es una matriz positiva definida, y $x^Tf(U)x=1$ describe un cierto elipse con ejes de longitud 1 y $1/\sqrt 2.$ La pregunta es si podemos suavemente elegir la matriz de rotación $U,$ dada la elipse. Esto es imposible porque continuamente la rotación de 180 grados, da la misma elipse, pero las fuerzas de $U$ , para finalizar con un extra de 180 grados de rotación. En realidad $f:SO_2\to f(SO_2)$ es sólo el mapa de $S^1\to S^1$ grado $2.$
Este argumento se basa en el hecho de que las fibras son discretos. De lo contrario se obtendría una más general fibration.
