Si $2(\sin a+\cos a)\sin b =3-\cos b$ entonces halle $3\tan^2a+4\tan^2b$

Question

Este problema está en un concurso $10$ hace años (no recuerdo su nombre); se trata de un concurso común por equipos. Al revisarlo, encontré un problema de trigonometría que no pude resolver.

Sea $a,b$ sean números reales tales que $$2(\sin a+\cos a)\sin b=3-\cos b$$ Encuentre $$3\tan^2a+4\tan^2b$$

Dudo que haya una solución en Internet ahora, pero tienen un número $35$ como respuesta final.

Mi pequeño progreso:

Utilice la simplificación simple, $$3\tan^2a+4\tan^2b={3\over \cos^2a}+{4\over \cos^2 b}-7$$

Intuitivamente, para obtenerlo, habría que elevar al cuadrado la ecuación dada. Pero ahí es donde me he atascado, porque el término $\cos b$ parece difícil de manejar; simplemente parece diferente de otros términos.

Answer 1

Reescríbalo así $$\underbrace{2(\sin a+\cos a)\sin b+\cos b}_{E}=3$$

Puesto que tenemos por desigualdad de Cauchy $$ \sin a+\cos a \leq \sqrt{(\sin ^2a+\cos ^2a)(1^2+1^2)}=\sqrt{2}$$ siempre hemos $$E \leq \sqrt{8}\sin b+ \cos b $$

Ahora de nuevo por la desigualdad de Cauchy $$\sqrt{8}\sin b+ \cos b \leq 3$$

Como tenemos el caso de igualdad tenemos $\sin b :\cos b = \sqrt{8}:1$ así que $\tan b = \sqrt{8}$ . Del mismo modo, tenemos $\tan a =1$ . El resultado es $35$ .