En una bola con hilos / cuerdas al azar, ¿cómo cambia la densidad de los hilos / cuerdas con el radio?

Question

Una gran bola de plástico llena de agujeros es dado. (De forma que los agujeros están en una carcasa de plástico.) Recta hilos conectar estos agujeros al azar, pasando por el interior de la bola/shell.

Para una pelota grande o shell, digamos un metro de tamaño, con miles de agujeros, esto hace que (1/2 veces) miles de hilos en su interior. (Cada agujero tiene el diámetro de la rosca, por lo que cada agujero sólo puede tener una cadena de pasar a través de él.)

Ahora la pregunta: Dentro de la bola/shell (que se supone ser de gran tamaño), es la densidad de los hilos al azar homogénea, o no dependen de la radio?

Answer 1

Creo que la densidad es homogéneo en todo el balón.

Hice una simulación numérica de este en Mathematica. Supuse que la esfera había radio 1 y generado 100.000 pares de puntos al azar, cada par para ser conectado con la cadena. Luego he analizado este conjunto de azar cadenas para ver la cantidad total de masa (es decir, la longitud de la cadena) que se encontraba entre $r$ e $r+dr$ en varias conchas esféricas con radios (0.1, 0.2, ..., 0.9), con un poco de geometría. Entonces me dividido por el cuadrado del radio de la cáscara esférica para obtener la densidad de volumen y tramaban. Los 9 puntos yacía casi en una línea horizontal:

Axis horizontal es la coordenada radial y el eje vertical es la densidad de la masa.

ANEXO

Aquí está una analítica prueba de que la densidad es homogéneo, basado en @Gec la respuesta. Estoy de acuerdo con su enfoque, pero no su ex resultado.

Tome la esfera a tiene unidad de radio y las cadenas de tener unidad de masa lineal de la densidad de modo que la masa de un pequeño segmento sólo es la longitud de ese segmento.

Como Gec señala, una cadena puede ser caracterizado por el ángulo que subtienda, que yo voy a llamar a $\theta$. Una cadena tiene una mínima distancia radial de $\cos{(\theta/2)}\equiv a$ y una longitud de $2\sin{(\theta/2)}=2\sqrt{1-a^2}$.

Introducir un lineal de coordenadas $s$ a lo largo de la cadena, medido a partir de su punto medio. Entonces uno ha $a^2+s^2=r^2$ así

$$s=\sqrt{r^2-\cos^2{(\theta/2)}}.$$

Diferenciando con respecto a $r$, nos encontramos con

$$ds=\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2-\cos^2{(\theta/2)}}}=\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2-a^2}}.$$

Esto nos dice que la masa de esta cadena que se encuentra dentro de una cáscara esférica entre $r$ e $r+dr$ es

$$dm=\frac{2r\,dr}{\sqrt{r^2-\cos^2{(\theta/2)}}}=\frac{2r\,dr}{\sqrt{r^2-a^2}}.$$

(La cuerda pasa a través de la shell en ambos lados de su centro.)

Se puede comprobar que esto es correcto mediante la integración de más de $r$ de $a$ a $1$:

$$m=2\int_a^1\frac{r\,dr}{\sqrt{r^2-a^2}}=2\sqrt{1-a^2},$$

lo cual está de acuerdo con la longitud de la cadena.

Ahora tenemos que integrar sobre cadenas entre puntos al azar sobre una esfera.

Como Gec señalado, la simetría esférica significa que podemos considerar sólo las cadenas con un extremo en el polo norte, y el otro extremo en ángulo polar $\theta$ y el ángulo azimutal $\phi$. Aleatoriamente promedio de una cantidad $f$ sobre el puesto al azar otro extremo, se calculan $\langle f \rangle=\frac{1}{4\pi}\iint f\,\sin{\theta}\,d\theta\,d\phi$. Por simetría azimutal, esto se simplifica a $\frac{1}{2}\int f\,\sin{\theta}\,d\theta$.

Para calcular el promedio de masa $dM$ en una cáscara esférica entre $r$ e $r+dr$, integramos $dm$ sobre $\theta$, pero sólo entre las $2\cos^{-1}r$ e $\pi$. Para pequeños ángulos, la cadena no iba a pasar a través de la cáscara y por lo tanto no contribuyen de cualquier masa. Así

$$\frac{dM}{dr}=\int_{2\cos^{-1}r}^\pi \frac{r\sin{\theta}\,d\theta}{\sqrt{r^2-\cos^2{(\theta/2)}}}$$

La sustitución de $u=\cos{(\theta/2)}$ simplifica esta integral para

$$\frac{dM}{dr}=4r\int_0^r\frac{u\,du}{\sqrt{r^2-u^2}}=4r^2.$$.

Para obtener el volumen masa densidad de $\rho=dM/dV$, se divide por el área de la cáscara esférica, $4\pi r^2$, para obtener una densidad homogénea de

$$\rho=\frac{1}{\pi}.$$

Mi simulación numérica dio a $2$ en lugar de $1/\pi$ debido a (1) no me multiplicar por 2 para tener en cuenta que una cadena pasa a través de una shell en ambos lados de su punto medio, y (2) al final he dividido por $r^2$ en lugar de $4\pi r^2$.

Answer 2

Añadido. Ahora, creo que G. Smith dio la respuesta correcta a la pregunta inicial. Y yo era la solución de un problema diferente. Mi primera solución implica que elegimos cualquier hilo con la misma probabilidad y, a continuación, de manera uniforme eligió el punto de este hilo. Este procedimiento no es equivalente a la búsqueda de distribución masiva. Para encontrar la distribución de la masa, debemos elegir los hilos con probabilidades proporcionales a su longitud. Sólo debido a los largos de hilo contiene más masa. Haciendo que este se obtiene una distribución de masa con densidad constante.

Primera solución. He obtenido la siguiente expresión para la densidad de la "materia" dentro de la esfera de radio 1 $$ \rho(r) = \frac{A}{r}\log\left(\frac{\sqrt{2}(1+r)}{\sqrt{|2r^2+\cos(\varphi(r))-1|}+\sqrt{2}\cos(\varphi(r)/2)}\right). $$ Aquí $A$ es constante y $\varphi(r) = 2\arcsin(r)$. El valiue de esta densidad, en $r=0$ es igual a $A$, y diverge como $r$ tiende a 1.

Upd. Esta expresión se obtiene de la siguiente manera. Para cualquier par de agujeros vamos a dibujar en el eje z través de uno de ellos y el centro de la esfera. A continuación, una posición de la segunda es definida por un ángulo polar $\varphi\in[0,\pi]$. El ángulo es aleatorio y el correspondiente pdf es $w_1(\varphi)=\sin(\varphi)/2$. La distribución uniforme de la "materia" a lo largo de la línea que conecta dos agujeros conduce a la siguiente distribución de radio: $$ w_2(r|\varphi) = \frac{r}{\cos(\varphi/2)\sqrt{r^2-\sin^2(\varphi/2)}}, $$ donde $r\in[\sin(\varphi/2),1]$. El valor mínimo del radio a lo largo de la línea es igual a $\sin(\varphi/2)$, por lo tanto la definición de $\varphi(r)$. Promedio con respecto a los ángulos da el radio pdf: $$ w_3(r) = \int_0^{\varphi(r)} w_1(\varphi)w_2(r|\varphi)d\varphi . $$ Y la densidad de la "materia" es proporcional a $w_3(r)/r^2$.

Answer 3

Mientras que el número de cadenas que pasa cerca de la shell es mayor que la de las cuerdas que pasan por el centro, también la radio constante superficies cerca de la shell son más grandes que los que están cerca del centro de la esfera.

Podemos definir la cadena de densidad de $\rho $ a través de

$$4\pi r^2\rho(r)= N (r) $$

donde $N (r) $ es el número de veces que las cadenas se cruzan la radio constante $r$ de la superficie.

Tenga en cuenta que, suponiendo que los agujeros siguen una distribución homogénea, en el límite de un gran número de agujeros que se acaban de conectar al azar los puntos de la esfera, con líneas que se cruzan la esfera.

Fija un punto desde el cual se traza la línea, usted tiene la misma probabilidad de conectarse a cualquier otro punto de la esfera.

La línea (cadena) pasará a través del centro sólo si el punto opuesto es el elegido.

Por el contrario, cada línea que pasa a través de la esfera de la superficie y casi todos los de la línea pasará a una ligeramente menor radio.

Usted puede calcular el número de líneas de una longitud determinada $L $ que se puede extraer de un punto elegido; incluso mejor que usted puede expresar utilizando el ángulo formado por los dos puntos conectados y el centro de la esfera: $$L=2Rsin\theta\;,\qquad N_L= 2\pi R sen 2\theta$$ Los segmentos correspondientes a un ángulo de $\theta$ contribuirá a la densidad de radiai en el rango de $[Rcos\theta, R]$ con 2 puntos cada uno, excepto en el caso de la radio mínimo valor (aquí la cadena pasa sólo una vez). Ahora $N (r) $ será proporcional a

$$ \int_{\theta*}^{\pi/2} 2\pi R sin (2\theta)d\theta $$

donde $cos\theta*=\frac {r}{R}$. La constante de proporcionalidad es básicamente el número de los extremos ya que la integración de su distribución en el $R $ shell (también tiene un factor de 2, ya que cada cadena se cuentan dos veces en casi todas partes y un factor de 1/2 para evitar la overcounting a la hora de integrar más extremos).

La integral da $$2\pi R \left(\frac {r}{R}\right)^2$$

de modo que cuando se compute $\rho (r)$ se obtiene un término que es independiente de $r $.

Si fuéramos a parar aquí, la densidad sería uniforme.

Uno podría pensar que todavía tenemos que quitar el overcounting de piezas de la cadena en el radio mínimo de cada segmento alcanza: qué tenemos que restar de la $N (r)$ un recuento de la intersección de la radio mínimo, es decir, la cantidad de $$2\pi R sin (2\theta*)$$

Esto daría una parte que depende de $r $ en la distribución: $$\rho (r)\sim const+\frac {\sqrt{1-(r/R)^2}}{r}$$

La verdad es que el término se debe restar a la integral de $N (r) $ y no da cero contribuir, desde su modificación en un conjunto de medida cero.

Así que, en conclusión, no existe una palabra para ser restado y la densidad es de hecho constante. Sería bueno ver si hay otros extremos de las distribuciones que son imitados por la cadena de densidad..