Subgrupos del producto semidirecto $\mathbb{Z}/\mathbb{7Z} \rtimes (\mathbb{Z}/\mathbb{7Z})^{\times}$

Question

Quiero enumerar todos los subgrupos del producto semidirecto $\mathbb{Z}/\mathbb{7Z} \rtimes (\mathbb{Z}/\mathbb{7Z})^{x}$ bajo el homomorfismo $\theta: (\mathbb{Z}/\mathbb{7Z})^{\times} \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/\mathbb{7Z})$ , $\theta: a \mapsto \theta_{a}$ donde $\theta_{a}(i)=ai$ . Hasta ahora, sé que los subgrupos de $(\mathbb{Z}/\mathbb{7Z})^{\times}$ será de órdenes $1, 2, 3$ o $6$ y además serán únicos (de forma similar, el grupo cíclico con $7$ elementos sólo tiene los subgrupos triviales).

Estaba pensando que los subgrupos del producto semidirecto serían productos semidirectos de los subgrupos de $\mathbb{Z}/\mathbb{7Z}$ y $(\mathbb{Z}/\mathbb{7Z})^{\times}$ . ¿Es correcta mi afirmación? Si no es así, ¿cuál sería la forma de calcular esos subgrupos?

Answer 1

Dejemos que $H$ sea un subgrupo del grupo $G$ de orden $42$ en cuestión.

• Si $7$ divide $|H|$ Entonces, como $G$ contiene un subgrupo normal $P$ de orden $7$ que es Sylow- $7$ subgrupo, $H$ contendrá el subgrupo normal $P$ . Entonces $H/P$ es un subgrupo de $G/P\cong \mathbb{Z}_7^{\times}$ así que las posibles órdenes de $H/P$ son $1,2,3,6$ y es único ( en $\mathbb{Z}_7^{\times}$ ), según la cual obtendremos subgrupos únicos de $G$ de orden $7,14,21,42$ .

• Si $7$ no divide $|H|$ entonces $|H|$ será $1,2,3$ o $6$ , $H$ será conjugado con el subgrupo de $\mathbb{Z}_7^{\times}$ Esto se debe a lo siguiente: si $|H|=1$ entonces es obvio. Si $|H|=6$ entonces $H$ es el complemento de una normal Subgrupo de la sala $\mathbb{Z}_7$ y por Schur-Zassenhaus los complementos de un subgrupo normal de Hall son conjugados. Si $|H|=2$ o $3$ entonces $H$ será Sylow- $2$ o Sylow- $3$ subgrupo, y $\mathbb{Z}_7^{\times}$ contiene Sylow- $2$ y Sylow- $3$ subgrupo, por lo que $H$ será conjugado a un subgrupo de $\mathbb{Z}_7^{\times}$ .