Demuestre$\int_{B(x,r)}|\nabla u|^2\leq \frac{C}{r^2}\int_{B(x,2r)}|u|^2$ si$-\Delta u(x)+f(x)u(x)=0.$

Question

Dejemos que$\Omega $ sea un dominio uniforme de$\mathbb R^d$ ($d\geq 2$),$f\in \mathcal C(\overline{\Omega })$. Supongamos que la solución$u\in \mathcal C^2(\overline{\Omega })$ de$$-\Delta u(x)+f(x)u(x)=0\ \ in\ \ \Omega .$ $ asume que$f(x)\geq 0$ para$x\in \Omega $. Demuestre que$$\int_{B(x,r)}|\nabla u|^2\leq \frac{C}{r^2}\int_{B(x,2r)}|u|^2,$ $ para todos$x\in \Omega $ y$r>0$,$B(x,2r)\subset \subset \Omega $ para somme$C\geq 0$ independiente de$u,f,x$ y$r$.

Mis intentos

Usando el teorema de divergencia y ese$\Delta u=fu$ en$\Omega $, tengo ese$$\int_{B(x,r)}|\nabla u|^2=\int_{B(x,r)}\text{div}(u\nabla u)-\int_{B(x,r)}u\Delta u=\int_{\partial B(x,r)}u\nabla u\cdot \nu-\int_{B(x,r)}fu^2.$ $

Pero no puedo hacerlo mejor. Cualquier ayuda sera bienvenida.

Answer 1

Supongamos que $\varphi : \bar{B}(x,2r) \to [0,\infty)$ es de Lipschitz y $\varphi =0$$\partial B(x,2r)$. Tenga en cuenta que desde $\varphi$ es de Lipschitz, es derivable en casi todas partes por Rademacher del teorema. Entonces $$ 0 \le \int_{B(x,2r)} \varphi^2 f u^2 = \int_{B(x,2r)} \varphi^2 u \Delta u = \int_{B(x,2r)} - \nabla (\varphi^2 u) \cdot \nabla u $$
desde $\varphi$ se desvanece en $\partial B(x,2r)$. Desde $$ \nabla(\varphi^2 u) = 2 \varphi \nabla \varphi u + \varphi^2 \nabla u $$ nos encontramos, después de conectar anterior, que $$ 0 \le -\int_{B(x,2r)}2 \varphi u \nabla \varphi \cdot \nabla u + \varphi^2 |\nabla u|^2, $$ y así $$ \int_{B(x,2r)} \varphi^2 |\nabla u|^2 \le \int_{B(x,2r)} -2 \varphi u \nabla \varphi \cdot \nabla u \le 2 \left(\int_{B(x,2r)} \varphi^2 |\nabla u|^2\right)^{1/2} \left(\int_{B(x,2r)} u^2 |\nabla \varphi|^2 \right)^{1/2}. $$ De esta manera, se ve que $$ \int_{B(x,2r)} \varphi^2 |\nabla u|^2 \le 4 \int_{B(x,2r)} u^2 |\nabla \varphi|^2. $$

Con la última desigualdad en la mano podemos probar el resultado. Conjunto $$ \varphi(y) = \begin{cases} 1 & \text{if } |x-y| \le r \\ 2 - |x-y|/r & \text{if } r < |x-y| \le 2r. \end{casos} $$ Es fácil ver que $\varphi \ge 0$, $\varphi$ se desvanece en el límite, y $\varphi$ es de Lipschitz. También $$ |\nabla \varphi(y)| = \begin{cases} 0 & \text{if } |x-y| \le r \\ 1/r & \text{if } r < |x-y| \le 2r. \end{casos} $$ Conectando de arriba, a continuación, da la desigualdad $$ \int_{B(x,r)} |\nabla u|^2 \le \int_{B(x,2r)} \varphi^2 |\nabla u|^2 \le 4 \int_{B(x,2r)} u^2 |\nabla \varphi|^2 = \frac{4}{r^2} \int_{B(x,2r) \barra invertida B(x,r)} u^2. $$ Esto es en realidad más fuerte que el de la desigualdad deseada.

Answer 2

Indique$B(x,r)$ por$B_r$ y elija una función suave$\xi$ para tener la siguiente propiedad $$ \ xi = \ left \ {\begin{array}{lcr}1,&\text{if }x\in B_r\\ \ge 0,&\text{if }x\in B_{2r}\setminus B_r\\ 0,&\text{if }x\in\Omega\setminus B_{2r}, \end {array} \ right. $$ satisfaciendo$|\nabla \xi|\le \frac{C}{r}$. Al usar$u\xi^2$ como una función de prueba en la ecuación, uno tiene$$ \int_{\Omega}\nabla u\nabla(u\xi^2)dx=-\int_{\Omega}fu^2\xi^2dx\le0. $ $ Por lo tanto,$$ \int_{\Omega}\xi^2|\nabla u|^2dx\le-2\int_{\Omega}(\xi\nabla u)(u\nabla\xi) dx. $ $ Al usar$2ab\le \frac{1}{2}a^2+2b^2$, uno tiene$$ \int_{\Omega}\xi^2|\nabla u|^2dx\le \frac12\int_{\Omega}\xi^2|\nabla u|^2dx+2\int_{\Omega}|u\nabla\xi|^2 dx $ $ y por lo tanto$$ \int_{\Omega}\xi^2|\nabla u|^2dx\le 4\int_{\Omega}|u\nabla\xi|^2 dx. $ $ Entonces, al usar la propiedad de$\xi$, uno tiene$$ \int_{B_r}|\nabla u|^2dx\le \frac{C}{r^2}\int_{B_{2r}}|u|^2 dx. $ $