¿Cuál es la forma más rápida de obtener un valor exacto de un producto de (potencias de polinomios)?

Question

Supongamos que tenemos dos números enteros $a$ y $b$ . Además, supongamos que tenemos polinomios en $x$ , $p_k(x)$ . Por último, supongamos que tenemos una secuencia de números enteros, donde un número entero de la secuencia se denota por $c_k$ .

¿Cuál es la forma más rápida de obtener un valor exacto para $\int_a^b{\left(\displaystyle \prod_k{\left(p_k(x)\right)^{c_k}}\right) dx}$ con el $c_k$ s grande?

Se trata de una versión más complicada de esta pregunta . Quizás "¿Cuál es la forma más rápida de obtener un valor exacto para integrar una potencia de un polinomio?" puede ayudar con ideas.

Answer 1

Me olvidaría de la integral por un momento. Y tratar el problema como el cálculo del polinomio $$R(x) = \displaystyle \prod_k{\left(p_k(x)\right)^{c_k}}$$ lo que puede hacerse utilizando la evaluación-entonces-interpolación (p. ej. mi otra respuesta ). A continuación, una integración definitiva de $R(x)$ debería ser una operación sencilla.

Otro método para calcular $R(x)$ es considerar lo siguiente Matriz de bloques de Jordan : $$A = \begin{pmatrix} C(p_1(x)^{c_1}) && 0 && \ldots && 0 \\ 0 && C(p_2(x)^{c_2}) && 0 && \ldots && 0 \\ 0 && \ldots && \ldots && \ldots && \\ 0 && \ldots && 0 && \ldots && C(p_n(x)^{c_n}) \end{pmatrix}$$ où $C(p_k(x)^{c_k})$ es la matriz compañera de bloque de $p_k(x)$ . Entonces $R(x) = \operatorname{charpoly}(A)$ que puede calcularse utilizando métodos rápidos de álgebra lineal.