Separación de conjuntos compactos, no convexos en$\mathbb R^n$

Question

Deje $m>1$. Para distintos subconjuntos compactos $E$ $F$ $\mathbb{R}^n$ podemos definir $$d(E,F) := \sup_\phi \inf \{\phi(x)-\phi(y)| x\in E, y\in F\},$$ donde el supremum se toma sobre todos los delimitada $\phi\in C^\infty(\mathbb R^n; \mathbb R )$$\|D^\alpha\phi\|_\infty \leq 1$$1\leq |\alpha| \leq m$.

Podemos fácilmente obtener un $d(E,F)\leq n^{1/2} \tilde d (E,F),$ $\tilde d$ siendo la distancia Euclidiana. Desde compacto conjuntos convexos siempre podemos encontrar una función lineal con el gradiente de la norma 1 tal que $$\tilde d(E,F) = \inf \{\phi(x)-\phi(y)| x\in E, y\in F\},$$ we can approximate it by a sequence of bounded $C^\infty$ funciones para obtener

$\tilde d(E,F)\leq d (E,F),$ siempre $E, F \subseteq \mathbb R^n$ son dos distintos, compacto y conjuntos convexos.

La pregunta que me ha estado luchando con es: ¿se puede relajar la condición de que ambos conjuntos necesitan ser convexa para obtener la desigualdad anterior (posiblemente con algunos extras, pero uniformes, constantes)? Estoy interesado en particular en el caso de al $E$ es la bola unidad cerrada y $F$$\{x\in \mathbb R^n| 2\leq|x|\leq 4\}$. Primero tomé una función lineal como por encima de la separación de $E$ $B= \{x\in \mathbb R^n| |x-3e_1|\leq 1\}$ un compacto y convexo subconjunto de $F$. Este no puede trabajar, porque si me permiten la $y\in F\setminus B$ el infimum se convierte en negativo.

Debería ser posible construir una especie de corte de la función con las propiedades anteriormente mencionadas?

Voy a estar agradecido por la ayuda!

PS. la respuesta a la pregunta de arriba para $m=1$ es sí, ya que la función de distancia es Lipschitz continua.

Actualización: La afirmación se cumple para cualquier distintos subconjuntos cerrados de $\mathbb R^n$. La siguiente prueba proviene del Lema 2.3 en este papel.

Si $s=\tilde d(E,F) >0$, a continuación, elija $\psi \in C^\infty_c(\mathbb R^n)$ $\int \psi =1$ y considerar la posibilidad de $\psi_\varepsilon = \varepsilon^{-n}\psi(\cdot/\varepsilon)$$\varepsilon = 1/4 s$. Deje $\tilde E$ $\varepsilon$- barrio de $E$ w.r.t. $\tilde d$. Nos pusimos $\psi = \frac{c_\varepsilon}{C_\psi}\chi_{\tilde E} \ast \psi_\varepsilon$ $C_\psi = \sum_{1\leq|\alpha|\leq m} \int |D^\alpha\psi|.$ I set $c_\varepsilon =1$ si $\varepsilon \ge 1 $ $c_\varepsilon = \varepsilon ^m$ lo contrario, para asegurarse de que $\phi$ satisface $\|D^\alpha\phi\|_\infty \leq 1$ $1\leq |\alpha| \leq m$ y para obtener para $x\in E, y\in F$

$$ \begin{align} \phi(x)-\phi(y)=\phi (x) & = \frac{c_\varepsilon}{C_\psi}\int_{B(x_\varepsilon)} \psi_\varepsilon(x-z) dz \\ & = \frac{c_\varepsilon}{C_\psi}\leq \frac{1}{C_\psi}\varepsilon \end{align}. $$

Answer 1

Esto le da a los detalles de mi comentario. Definir $g:[0,\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ por $$g(x) = \frac{x}{x+1}$$ Tenga en cuenta que $g$ es creciente y cóncava. Fix $n$ como un entero positivo y definir $h:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ por $$h(x) = \sum_{i=1}^n g(dx_i^2)$$ para algunos $d>0$. A continuación, $h$ es infinitamente diferenciable. Deje $||x||=\sum_{i=1}^n x_i^2$ ser el estándar de la norma Euclídea.

Reivindicación 1: $||x||\leq 1 \implies h(x)\leq \frac{d}{1+d/n}$

Supongamos $||x|| \leq 1$. Entonces, por la desigualdad de Jensen para la función cóncava $g$: \begin{align} h(x) &= n\cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n g(dx_i^2) \\ &\leq ng\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n dx_i^2\right) \\ &= ng\left(\frac{d}{n}||x||^2\right) \\ &\leq ng(d/n)\\ &= \frac{d}{1+d/n} \end{align} $\Box$

Reivindicación 2: $||x||\geq 2 \implies h(x)\geq \min[1/2, 2d]$.

Supongamos $||x||\geq 2$. Observe que $$ g(y) \geq y/2 \quad \mbox{whenever $s \in [0,1]$} \quad (Eq. *) $$

Caso 1: Si hay un índice $i \in \{1, ..., n\}$ tal que $dx_i^2>1$ $$ h(x) \geq g(d x_i^2) \geq g(1) = 1/2 $$

Caso 2: Si $dx_i^2 \in [0,1]$ todos los $i \in \{1, ..., n\}$, $g(dx_i^2)\geq dx_i^2/2$ todos los $i \in \{1, ..., n\}$ ((Eq. *)) y $$ h(x) = \sum_{i=1}^n g(dx_i^2) \geq \sum_{i=1}^n dx_i^2/2 = (d/2)||x||^2\geq 2d$$ $\Box$

Reivindicación 3: Si $d=1/4$ tenemos una estricta separación.

Por las Reivindicaciones 1 y 2:
\begin{align} E &= \{x \in \mathbb{R}^n : ||x||\leq 1\} \subseteq \left\{x \in \mathbb{R}^n : h(x)\leq \frac{d}{1+d/n} \right\} \\ F &= \{x \in \mathbb{R}^n : 2 \leq ||x|| \leq 4\} \subseteq\left\{x \in \mathbb{R}^n : h(x)\geq \min[1/2, 2d]\right\} \end{align} Desde $d=1/4$ hemos \begin{align} E &\subseteq \left\{x \in \mathbb{R}^n : h(x)\leq \frac{1}{4+1/n} \right\} \\ F &\subseteq \left\{x \in \mathbb{R}^n : h(x)\geq 1/2\right\} \end{align} $\Box$

Reivindicación 4: elegir el $f(x) = ch(x)$ pequeña $c>0$

Fix $c>0$. Claramente la separación estricta aún mantiene la escala de función $f(x) = ch(x)$.

Fix $m$ como un entero positivo. Se puede demostrar que existe un valor de $B>0$ tal que para todos los $i \in \{1, ..., n\}$ y todos los $k \in \{1, ..., m\}$ hemos $$ |\frac{\partial^k}{\partial x_i^k} h(x) |\leq B \quad \forall x \in \mathbb{R}^n $$
y así podemos elegir $c>0$ suficientemente pequeño para asegurar la gradientes de $ch(x)$ son suficientemente pequeñas.