Anillo de cohomología de una suma directa vía dualidad Poincare.

Question

Estoy tratando de resolver el ejercicio 3.3.26 en Hatcher Topología Algebraica:

Calcular la taza de la estructura del producto en $H^{*}((S^{2}\times S^{8})\#(S^{4}\times S^{6});\mathbb{Z})$, y, en particular, muestran que el solo no trivial de la copa de productos son aquellos dictados por la dualidad de Poincaré.

Lo que yo sé: que puedo utilizar Künneth fórmula para calcular la cohomology anillo y grupos individuales de cada espacio del producto. También sé que la cohomology grupo de la conexión de la suma es isomorfo a la suma directa de cohomology de los grupos en la misma dimensión para $0 < i < 10$. Este fue un ejercicio anterior he resuelto.

Lo que estoy luchando es la inferencia de la copa de la estructura del producto. Desde la "conexión" que está ocurriendo en la dimensión de $10$, puedo adivinar que la copa del producto en dimensiones inferiores no se ve afectada. En otras palabras, es la que sucede en cada componente de directa sumas de forma individual. También puedo adivinar que el conectado suma identifica el $10$de células de ambos productos en uno.

No tengo idea de cómo mostrar este rigor. Podría alguien por favor, muéstrame cómo hacer esto? También cómo es la dualidad de Poincaré útil aquí como se indicó por el ejercicio?

Gracias

Answer 1

Supongamos que M denotar $(S^2 \times S^8) \sharp (S^4 \times S^6)$

1. Para calcular el cohomology de $M$, creo que se puede usar celular cohomology. Hay un $0, 2, 8, 10$de células en $S^2 \times S^8$; y hay un $0, 4, 6, 10$de células en $S^4 \times S^6$. En general, en la $M$, hay un $0, 2, 4, 6, 8, 10$ celular. Así que el cohomology de $M$ $\mathbb{Z}$ dimensiones de $0, 2, 4, 6, 8 , 10$ y cero en caso contrario.

2. La copa del producto entre el $2-$celular y el $8-$de células, así como la copa del producto entre el $4-$celular y $6-$celulares son triviales, y es trivial para los otros pares. Más precisamente, vamos a $\alpha_i$ ser distinto de cero generador de $H^i(M)$, hay un valor distinto de cero generador de $\beta_{10-i}$ $H^{n - i}(M)$ tal que $\alpha_i \cup \beta_{n-i}$ es un generador de $H^{10}(M) \cong \mathbb{Z}$. Esto está de acuerdo con la declaración de Corolario 3.39 en Hatcher (la Dualidad de Poincaré sección). En este caso, el cohomology clases que no se vincule a cero como 'Poincaré duales'.