Una prueba en Spivak sobre integración.

Question

El teorema de los estados

Si $f$ está delimitada en $[a,b]$, $f$ es integrable en $[a,b]$ $\iff$ para todos los $\epsilon > 0$ no es una partición de a $P$ $[a,b]$ tal que

$$U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$$

La prueba está en la página 220. Creo que tengo la 2da edición del libro.

Uno de los pasos que realmente me confunde en la que escribe

"$\inf \{ U(f,P')\} - \sup\{ L(f,P')\} < \epsilon$, ya que esto es cierto para todos los $\epsilon > 0$, se deduce que el $\inf \{ U(f,P')\} = \sup\{ L(f,P')\}$

Yo no entiendo como esta de la siguiente manera, ¿cómo esta se ha convertido en una igualdad?

Answer 1

Esta es una linda estrategia en análisis: para probar que$x = y$, en su lugar, demuestras que$|x - y| < \epsilon$ para todos$\epsilon > 0$. Porque si$x \neq y$, tomar$\epsilon = |x - y|$ falsificaría la desigualdad. En su caso,$x = \inf U(f,P')$ y$y = \sup L(f,P')$.

En su pregunta, los valores absolutos se omiten porque ya $x > y$%; esto se debe a que siempre tenemos$U(f,P') \geq L(f,P')$ para la misma partición, que es la intuición detrás del uso de "superior" y "inferior" en los nombres de estas cantidades.

Answer 2

Esto se denomina integral de Darboux y para mostrar que$\inf \{ U(f,P')\} \geq \sup\{ L(f,P')\}$ primero debe mostrar que para un refinamiento$P'$ de una partición$P$ siempre tiene$$U(f,P) \geq U(f,P') \geq L(f,P') \geq L(f,P).$$ Then to show that all the upper integrals are bigger than all the lower integrals you can use the fact that for any two partitions $ P_1$ and $ P_2$ there is always a partition $ P '$ that is a refinement of both of them, $ P' = P_1 \ cup P_2 $ por ejemplo.

Ahora suponga que tenemos$0 \leq \inf \{ U(f,P')\} - \sup\{ L(f,P')\} < \epsilon$ para cada$\epsilon > 0$ como se supone en la pregunta. Eso no deja espacio para que la diferencia sea otra cosa que cero, ya que$\epsilon$ puede ser elegido arbitrariamente pequeño.