Mostrar esta integral del análisis complejo es un entero sin residuos.

Question

Ya he probado que la liquidación número es un número entero, ahora quiero mostrar que, dados los siguientes supuestos:

• La función de $f$ es holomorphic en el dominio $D$
• $\gamma$ es seccionalmente suave, curva cerrada en $D$
• $f$ no desaparecen en $\gamma$

Es cierto que

$$ \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f '(\xi)}{f(\xi)}d\xi \in \mathbb{Z}.$$

Aquí es lo que estoy pensando, aunque no es en absoluto una rigurosa prueba:

$$\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{f '(\xi)}{f(\xi)}d\xi=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{d}{d\xi}\log_{R}(f(\xi))d\xi=\frac{1}{2\pi i}\{\log_{R}(f(\xi_1))-\log_{R}(f(\xi_2))\}$$

donde $\log_{R}$ es el logaritmo de la función definida en la superficie de riemann de la página de la wikipedia en complejos logaritmos página de la wiki

y $\xi_1,\xi_2$ son dos puntos que son de la misma cuando se la considera como puntos de $\mathbb{C}$ (debido a $\gamma$ es cerrado), pero que tienen diferentes argumentos, diferenciándose por $k2\pi i$$k \in \mathbb{Z}$, cuando se la considera como puntos sobre la superficie de Riemann $R$.

Creo que probablemente conseguir que la idea que tengo. Podría ser totalmente libre, pero esto es lo que me llevó a pensar en ello. El problema es que, en realidad, no hemos discutido esto superficie de Riemann, por lo que dudo es lo que se espera.

Cualquier comentario o sugerencia?

Answer 1

Si$z(t)$ parametriza$\gamma$, entonces$f(z(t))$ parametriza una curva a la que podemos llamar$f(\gamma)$. Luego tenemos$${1 \over 2\pi i} \int_{\gamma} {f'(z) \over f(z)}\,dz = {1 \over 2\pi i} \int_{f(\gamma)}{dw \over w}$ $ El lado derecho de esto es exactamente$n(f(\gamma), 0)$, que es un número entero, ya que los números de bobinado son todos los números enteros.