Probar la diferenciabilidad de una función a partir de la condición de dif. de otra función

Question

La siguiente pregunta dice:

Dejemos que $$\phi(t) = \begin{cases} \dfrac{sin(t)}{t} & \text{if $t\neq 0 $} \\ 1 & \text{if $t=0$} \end{cases}$$

Demostrar que $\phi$ es diferenciable en $\mathbb R$ .Let

$$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{cos\text{x}-cos\text{y}}{x-y} & \text{if $x\neq y $} \\ 0 & \text{ otherwise} \end{cases}$$

Expreso $f$ en términos de $\phi$ y demostrar que $f$ es diferenciable en $\mathbb R^2$ .

Lo he resuelto $\phi$ es diferenciable .

Ahora para expresar $f$ en términos de $\phi$ ¿tenemos que utilizar la fórmula para $cos\text{x}-cos\text{y}$ ....Además, la composición de funciones diferenciables es una función diferenciable... que podemos utilizar para demostrar la diferenciabilidad de $f$ ...

Por favor, ayuda....

Answer 1

Utiliza las identidades trigonométricas:

$$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}2\,\sin\frac{x-y}2$$

Respuesta afirmativa: la composición de funciones diferenciables es diferenciable, incluso en varias variables.

Añadir a petición:

$$\frac{\cos x-\cos y}{x-y}=-\frac{\sin\frac{x-y}2}{\frac{x-y}2}\;\sin\frac{x+y}2\xrightarrow[(x,y)\to (0,0)]{}-1\cdot\sin 0=0$$