Problema de descomposición del subespacio vectorial (álgebra lineal)

Question

Estoy atascado con el siguiente problema y he intentado acercarme al extender la base inicial de$W$ sin suerte. ¿Alguna pista?
Considere dos subespacios$W_1$ y$W_2$ del espacio vectorial$\mathbb R^2$ de manera tal que dim$W_1=\dim W_2=1$%. Demuestre que existe un subespacio$W$ tal que$V=W \bigoplus W_1$ y$V=W \bigoplus W_2$.

Answer 1

Suponiendo que$V$ es$\Bbb R^2$:

Tenga en cuenta que$W_1$ se divide en un vector, por ejemplo,${\bf w_1}\ne\bf 0$ y$W_2$ en un vector, por ejemplo,${\bf w_2}\ne\bf0$.

Si$W_1=W_2$, tome cualquier vector$\bf v$ que no esté en$W_1$ y establezca$W=\text{span}\{{\bf v\}}$ (en este caso,$\{\bf v, \bf w_1\}$ es una base de$\Bbb R^2$).

Si$W_1\ne W_2$, sea$W$ el intervalo de cualquier vector que no esté en$W_1$ ni$W_2$, digamos$W =\text{span}\{{\bf w_1+w_2}\}$ (en este caso$\{\bf w_1+\bf w_2, \bf w_2\}$ y$\{\bf w_1+\bf w_2, \bf w_1\}$ son bases de$\Bbb R^2$).