¿Cómo se calcula la integral de la suma de dos valores absolutos?

Question

Sé cómo encontrar la integral de un solo valor absoluto, pero este problema presenta la integral de la suma de dos valores absolutos. ¡Ayuda!

Quiero evaluar:

PS

Answer 1

Debe separar la integral en casos como$x\in[a, -1], x\in(-1,1), x\in[1,b]$, asumiendo$a<-1<1<b$. Luego, para cada caso, puede deshacerse del valor absoluto y calcular la integral como de costumbre.

Quedará claro si intentas dibujar la gráfica de la función.

Answer 2

El valor absoluto representa una función por partes.

PS

Al igual que con la integración de cualquier función por partes, divida el intervalo de integración en las regiones separadas para las que tiene algo más fácil de manejar e integre cada parte por separado.

En este caso, suponga que$$ |x| = \left\{ \begin{array}{lcr} x & : & x \geq 0 \\ -x & : & x < 0\end{array}\right. $ y$a = -3$. Entonces

PS

Answer 3

Tenga en cuenta que $f(x) = |x-1| + |x+1|$ puede ser descompuesto en varios casos:

$$f(x) = \begin{cases}(x-1)+(x+1)& \text{if }x\ge1 \\ -(x-1)+(x+1) & \text{if } -1\le x\le1 \\ -(x-1)+-(x+1) & \text{if } x\le-1 \end{casos}$$

Simplificando: $$f(x) = \begin{cases} 2x& \text{if }x\ge1 \\ 2 & \text{if } -1\le x\le1 \\ -2x & \text{if } x\le-1 \end{casos}$$

Esto es fácilmente visualizado con un gráfico (ver Wolfram|Alpha).

Así, para integrar, para romper el intervalo de $[a, b]$$-1$$1$.

Un ejemplo es probable que: $$\begin{align} \int_{-3}^3|x-1|+|x+1|\;dx &= \int_{-3}^{-1}-2x\;dx+\int_{-1}^{1}2\;dx+\int_1^32x\;dx\\ &=-x^2\bigg|^{-1}_{-3} + 2x\bigg|_{-1}^1+x^2\bigg|_1^3\\ &=8+4+8\\ &=20 \end{align} $$

Esta zona se puede ver la sombra en este Wolfram|Alpha enlace.

Answer 4

$\int_a^b(|x-1|+|x+1|)~dx$

$=\int_a^b((x-1)\text{sgn}(x-1)+(x+1)\text{sgn}(x+1))~dx$

$=\left[\dfrac{(x-1)^2\text{sgn}(x-1)+(x+1)^2\text{sgn}(x+1)}{2}\right]_a^b$

$=\left[\dfrac{(x-1)|x-1|+(x+1)|x+1|}{2}\right]_a^b$

$=\dfrac{(b-1)|b-1|+(b+1)|b+1|-(a-1)|a-1|-(a+1)|a+1|}{2}$