Sistema de resolución de ecuaciones diferenciales para evaluar$x(t)$

Question

Tengo que resolver el siguiente sistema de ecuaciones y encontrar$x(t)$

$$\frac{dx}{dt} =a\cos(y)-b$ $$$x\frac{dy}{dt}=-a\sin(y)$ $

Condiciones iniciales:

• $t=0,x=x_o, y=\frac{\pi}{2}$

Al dividir las ecuaciones y la integración, obtuve$x(y)$:

PS

Ahora no puedo proceder a encontrar$$x=x_o \csc(y) \left|\csc(y)-\cot(y)\right|^{\frac{b}{a}}$.

Answer 1

Demasiado largo para un comentario.

Los dominios de mis matemáticas competencia están lejos de ecuaciones diferenciales, por lo que puede perder algunas sutilezas. Supongo que $a$ $b$ son constantes. Dada una función derivable $u=u(t)$ $u'$ I deberá indicar su derivada con respecto a $t$.

La diferenciación de la primera ecuación obtenemos

$x''=-a\sin y\cdot y'.$

Entonces

$xx''=-a\sin y\cdot xy'=a^2\sin^2 y=a^2-(x'+b)^2=a^2-(x')^2-2bx'-b^2$

$(xx')'=xx''+(x')^2=a^2 -b^2-2bx'$

Integrando con respecto a $t$ obtenemos

$xx'=(a^2 -b^2)t-2bx+C$,

Esta ecuación se ve más simple que el sistema inicial y tal vez ya puede ser resuelto por métodos estándar.

También podemos encontrar $C$ como sigue. La aplicación de las condiciones iniciales obtenemos

$x(0)x'(0)=(a^2 -b^2)\cdot 0 -2bx(0)+C$,

pero $x(0)=x_o$$x'(0)=a\cos y(0)-b= a\cos\frac\pi2-b=-b$, lo $-bx_o=-2bx_o+C$, y $C=bx_o$.

La actualización. De acuerdo a player100 comentario, tenemos que calcular el $\int\frac {x}{x^2-x-A}dx$. Pero $$x^2-x-A= x^2-x+\frac{b^2-a^2}{4b^2}.$$ The discriminant of this polynomial is $$1-4\frac{b^2-a^2}{4b^2}=\frac{a^2}{b^2}.$$ Así

$$x^2-x-A=\left(x-\frac{b+a}{2b}\right)\left(x-\frac{b-a}{2b}\right).$$

Si $a=0$

$$\frac x{x^2-x-A}=\frac{x}{(x-\frac 12)^2}=\frac{1}{x-\frac 12}+\frac{1}{2(x-\frac 12)^2}. $$

Así

$$\int\frac {x}{x^2-x-A}dx=\int \frac{dx}{x-\frac 12}dx+\int\frac{dx}{2(x-\frac 12)^2}dx=\ln\left(x-\frac 12\right)-\frac 1{2x-1}+C'$$

(siempre $x>\frac 12$).

Entonces

$$e^{-\int\frac {x}{x^2-x-A}dx}=C''\frac 1{x-\frac 12}e^{\frac 1{2x-1}}.$$

Si $a\ne 0$

$$\frac x{x^2-x-A}=\frac{ab+b^2}{2abx-a^2-ab}+ \frac{ab-b^2}{2abx+a^2-ab}.$$

Así

$$\int\frac {x}{x^2-x-A}dx=$$ $$\int \frac{ab+b^2}{2abx-a^2-ab}dx+ \int\frac{ab-b^2}{2abx+a^2-ab}dx=$$ $$\frac{ab+b^2}{2ab}\ln(2abx-a^2-ab)+\frac{ab-b^2}{2ab}\ln(2abx+a^2-ab)+C'.$$

(siempre que el denominador son positivos)

Entonces

$$e^{-\int\frac {x}{x^2-x-A}dx}= C"\left(2abx-a^2-ab\right)^{-\frac{ab+b^2}{2ab}}\left(2abx+a^2-ab\right)^{-\frac{ab-b^2}{2ab}}.$$

Answer 2

No tengo una respuesta pero puedo tener un poco de perspicacia:

Método: se Diferencian las dos ecuaciones para obtener

\begin{align} \frac{dx}{dt}=a\cos(y)-b\Rightarrow& \frac{d^2x}{dt^2} =-a\sin(y)\frac{dy}{dt} \qquad(1)\newline x\frac{dy}{dt}=-a\sin(y)\Rightarrow& \frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}+x\frac{d^2y}{dt^2}=-a\cos(y)\frac{dy}{dt}\qquad(2) \end{align} He tratado de aplicar algunas sustituciones entre el antiguo y el nuevo ecuaciones para obtener algunas cancelaciones, pero no puede llegar a algo simple.

Sólo hay una sustitución que parece llevar a otro lugar.

Yo uso el primer notación ahora para hacerlo legible (donde cualquier $f'$ es diferenciado con respecto a $t$).

Tenemos

$$x'y'+xy''=-a\cos(y)y'\Rightarrow a\cos(y)=\frac{-(x'y'+xy'')}{y'}=-x'-x\frac{y''}{y'}$$

Sustituyendo en la mano izquierda de la ecuación de la igualdad de $(1)$:

$$x'=-x'-x\frac{y''}{y'}-b\Rightarrow 2x'+x\frac{y''}{y'}=-b $$ Deje $v=y'$

$$\Rightarrow2x'+x\frac{v'}{v}=-b\Rightarrow x'+x\frac{v'}{2v}=-\frac{1}{2}b$$

Esta es una de primer orden lineal de la educación a distancia. Utilizamos el factor de integración:

$$\Large\mu=e^{\int\frac{v'}{2v}}=e^{\frac{1}{2}\ln v}=v^{\frac{1}{2}}$$

$$\therefore \left[xv^{\frac{1}{2}}\right]'=-bv^{\frac{1}{2}}\Rightarrow x=v^{-\frac{1}{2}}\int-\frac{1}{2}bv^{\frac{1}{2}}dt$$ $$x(t)=-\frac{1}{2}bv^{-\frac{1}{2}}\int v^{\frac{1}{2}}dt$$

Y aquí es donde me acaban de obtener atascado, pero incluso entonces, no estoy seguro de si va a llevar a $x$ como una función explícita de $t$.

Espero que algo de aquí conduce a su respuesta..