¿Es justo decir que la ecuación de Kepler implica la cuadratura del círculo?

Question

Intento comprender hasta qué punto estoy en el mar, anclado o en tierra firme, y cómo afianzar mi comprensión según sea necesario.

Creo que la ecuación de Kepler se reduce a una tarea (llámese $t$ (que describiré mejor en breve) que equivale a encontrar un círculo con igual área que un cuadrado. Así que:

1) ¿Es apropiado y correcto decir que la resolución de la ecuación de Kepler se reduce a la cuadratura del círculo?

Supongo que se puede decir que no soy un verdadero geómetra, o algebrista, o:

2) ¿A qué área de las matemáticas me estoy agarrando aquí? ¿Y estoy utilizando un lenguaje apropiado?

3) ¿Es todo esto una forma razonable de explicar por qué se dice que la ecuación de Kepler es trascendental? ¿Es también una forma razonable de explicar por qué "cómo cuadrar el círculo" es una pregunta interesante incluso ahora que sabemos que no hay ningún método que utilice el compás y la regla (o, lo que he leído que es equivalente, el "cierre cuadrático de los racionales")?

Donde mencioné una tarea $t$ Lo que tengo en mente es encontrar una región parcialmente delimitada por un arco de círculo con igual área que un triángulo. Esta noción la obtuve cuando leí " Cálculo de la posición en función del tiempo ". Presenta una figura que denomina construcción geométrica:

Así que cuando pregunto en (1) si estoy en lo cierto, supongo que en lo que realmente quiero estar en lo cierto es en ese punto $x$ (o, por el contrario, el $P$ o $d$ ) en la llamada construcción no es "construible" a partir de puntos $c$ el centro de la elipse, punto $S$ un foco de la elipse, y el punto $y$ en el círculo alrededor de $c$ de radio tan grande como el semieje mayor de la elipse y con ángulo $Scy$ proporcional al tiempo transcurrido desde la periapsis, es decir, la aproximación más cercana de $P$ a $S$ .

Se afirma que la ecuación de Kepler establece que el área de la región $zSx$ delimitado por dos segmentos de línea y un arco $zcx$ es igual al área del sector circular $zcy$ . Eliminando la región en común y dando nombre $k$ hasta el punto de que $cy$ se cruza con $Sx$ tenemos áreas iguales del triángulo $Sck$ y la región $ykx$ que está limitado por dos segmentos de línea y un arco $ycx$ . Entonces, la tarea $t$ es encontrar $x$ de tal manera que obtengamos las áreas iguales que acabamos de mencionar donde $k$ se determina como acabamos de definir.

En cuanto a la cuadratura del círculo, bueno, es trivial encontrar un cuadrado con la misma área que el triángulo $Sck$ y no es difícil, imagino, encontrar un círculo con la misma área que la región $ykx$ .

Answer 1

Tras una breve charla con @OrangeHarvester creo que es así: Me pasé buscando una conexión entre las leyes del movimiento planetario de Kepler y lo no construible.

Sí, la ecuación de Kepler está en la naturaleza de la cuadratura del círculo, en el sentido de que es trascendental, debido al uso de la función seno.

Acabo de aprender, como no sabía antes, que los números construibles son un subconjunto propio de los números algebraicos, que son el complemento de los números trascendentales. La "imposibilidad" de la cuadratura del círculo, recordemos, es que requiere utilizar números no construibles.

Pero no, la ecuación de Kepler no es tan especial en ese sentido. Había ecuaciones trascendentales mucho antes de Kepler.

Sin embargo, si lo preferimos, la ecuación de Kepler es un ejemplo especialmente bonito de ecuación trascendental, en el sentido de que de gustibus non est disputandum En cuestión de gustos no hay pruebas.

Answer 2

"Morbus cyclometricus" puede acabar traduciéndose en "sanitas cyclometricus" si esta nueva perspectiva de Pi confirma el valor de todo esfuerzo humano por "cuadrar el círculo": http://www.aitnaru.org/images/Pi_Corral.pdf (archivo adjunto a la página web)

El triángulo escaleno sí existe en el rango de posibles cuadrados del círculo de menor a mayor. ¿Existe la geometría para definir ese triángulo único sin ensayo y error y según las reglas griegas para este desafío?

Este singular triángulo, inscrito dentro de un círculo, debería al menos ayudar a promover una nueva generación de ideas para la comida y las festividades del Día de Pi 2014 ¡y nuevas ideas para la cuadratura del círculo!