Solucionar $e^x+x=1$

Question

Esto parece haber dejado perplejos incluso a mi TA, por lo que yo estoy pidiendo aquí.

Dado $e^x + x = 1$, resolver por $x$.

Ya sé que la respuesta es cero, pero no tienen idea de cómo llegar allí.

Answer 1

El uso de la expansión de la serie tenemos:

$$1+x+\frac{x^2}{2!}+ \dots + \frac{x^n}{n!}+\dots = 1-x$$

Si $x$ es positivo, es obvio que no puede haber igualdad.

Si $x<0$, entonces el lado derecho es mayor que 1 y $e^{x}<1$.

Esto no es estrictamente un "algebraica" de la solución, pero con el término en $e^x$ no esperamos nada de lo puramente algebraico.

Answer 2

"Lambert W" es una pista para la "solución algebraica".
La solución para $\mathrm{e}^x + x = 1$$1-\mathrm W(\mathrm{e})$,
para encontrar TODAS las soluciones complejas, el uso de todas las ramas de la W de Lambert ...

$$ \begin{align*} &\dots \\ 1 - \mathrm{W}_{-4}(\mathrm{e}) &= 3.159947300 + 23.47017395 i \\ 1 - \mathrm{W}_{-3}(\mathrm{e}) &= 2.849014724 + 17.17149358 i \\ 1 - \mathrm{W}_{-2}(\mathrm{e}) &= 2.393982241 + 10.86800606 i \\ 1 - \mathrm{W}_{-1}(\mathrm{e}) &= 1.532092122 + 4.597158013 i \\ 1 - \mathrm{W}_{0}(\mathrm{e}) &= 0.000000000 \\ 1 - \mathrm{W}_{1}(\mathrm{e}) &= 1.532092122 - 4.597158013 i \\ 1 - \mathrm{W}_{2}(\mathrm{e}) &= 2.393982241 - 10.86800606 i \\ 1 - \mathrm{W}_{3}(\mathrm{e}) &= 2.849014724 - 17.17149358 i \\ 1 - \mathrm{W}_{4}(\mathrm{e}) &= 3.159947300 - 23.47017395 i \\ 1 - \mathrm{W}_{5}(\mathrm{e}) &= 3.396557044 - 29.76478701 i \\ &\dots \end{align*} $$

explicación

$\mathrm{e}^x+x=1$
$\mathrm{e}^x=1-x$
$\mathrm{e} = (1-x)\mathrm{e}^{1-x}$
$\mathrm{W}(\mathrm{e}) = 1-x$
$x = 1-\mathrm W(\mathrm{e})$

Answer 3

Usted puede ver esto muy fácilmente de forma gráfica. La ecuación es $$e^x=1-x$$ y a los dos lados de la ecuación se trazan aquí (de Wolfram Alpha):

La intuición de una prueba formal también se desprende directamente de la imagen (las funciones son tanto monótono pero en direcciones opuestas), si ese es tu objetivo.

Answer 4

Deje $f(x) = e^x + x - 1$. Entonces, para cualquier $x$, $f(x) = 0$ si y sólo si $e^x + x = 1$.

Ya se ha dado cuenta de que $f(0) = 1 + 0 - 1 = 0$, por lo que es una solución.

Ahora, nos dirigimos a cálculo, no de álgebra. Tenemos $f'(x) = e^x + 1$. Desde $e^x > 0$ todos los $x$, sabemos que $e^x + 1 > 0$. En otras palabras, $f'(x)$ es positivo para todos los $x$ que nos dice que $f(x)$ es una función creciente en toda la recta real. Por lo tanto, sólo podría posiblemente ser 0 en un punto, y que ya ha encontrado ese punto.

Ahora, si usted no ha tenido cálculo, usted todavía puede obtener la misma idea básica. Por ejemplo, usted sabe $y = x$ es cada vez mayor. Eso es algo que usted debe saber. Tal vez usted ha aprendido que $y = e^x$ es siempre creciente, porque aun en una clase de álgebra, probablemente le dará un montón de propiedades de $y = e^x$ cuando se introducen. Añadir estas dos funciones, y sigue en aumento. Resta 1, y la función es simplemente traducidos hacia abajo 1 unidad, de modo que todavía creciendo en todas partes. De nuevo, la conclusión es la misma.

Answer 5

Sólo para agregar peso a @Jonathan respuesta: Si $f$ $g$ es un aumento y una disminución de la función en $\mathbb{R}$, respectivamente, sus gráficas se pueden cruzar en un solo punto. La inspección considera que el punto a se $(0,1)$, y listo.