Expandiendo corchetes de la forma$(a+b)^n$

Question

Si tenemos la ecuación

$ (a+b)^n = (a+b)\times(a+b)\times(a+b)\times \ldots \times (a+b) $

la expansión de la derecha de la anterior, es la suma de los términos en el formulario de $a^n$, $a^{n-1}b$,$a^{n-2}b^2$, $\ldots$, $b^n$. Que es $a^{n-1}b^k$ $k=0,1,\ldots,n$

Ahora, mi libro de texto se establece lo siguiente

Cada término de la forma $a^{n-k}b^k$ surge por la elección de la variable $b$ de $k$ de los pares de corchetes en el lado derecho de la ecuación y la variable $a$ desde el resto de $n-k$ pares de los soportes.

Mi pregunta ahora es, ¿por qué? No hay ninguna prueba de este, y estoy luchando para entender la razón por la que el tiene.Por una sencilla expansión, donde$k=1$$n=2$, tenemos a 2 de los términos de la forma $ab$, aquí es bastante fácil de ver desde

$ (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2 + b^2 + 2ab $

¿por qué la declaración en el libro vale para este caso. Pero, para los más grandes, como la de $(a+b)^3$ i no lo puede ver. Puedo ver que hay 3 maneras de elegir una $b$ y dos $a$, para el plazo $a^2b$ cuando se mira en $(a+b)(a+b)(a+b)$, pero no puedo relacionarlo con la expansión de ellos, si eso tiene sentido?

Answer 1

Para simplificar hablando acerca de la declaración un poco, vamos a $C_i = (a + b)$$1\le i \le b$, por lo que $$(a + b)^n = C_1 \times \dots \times C_n.$$ Para el caso de que $n = 3$ y el plazo $a^2b$:

Si elegimos $b$$C_1$, luego elegimos $a$$C_2$$C_3$.
Si elegimos $b$$C_2$, luego elegimos $a$$C_1$$C_3$.
Si elegimos $b$$C_3$, luego elegimos $a$$C_1$$C_2$.

Por lo tanto el coeficiente de $a^2b$$3 = \binom{3}{1}$.

Más generalmente, usted debe ser capaz de ver que en un plazo de $a^{n - k}b^k$ debe haber tomado cualquiera de las $a$ o $b$ desde cualquier plazo $C_i$. Por lo tanto, simplemente de la siguiente manera $$(a + b)^n = C_1 \times\dots\times C_n = (a + b)[C_1 \times\dots C_{i - 1} \times C_{i + 1} \times C_n]$$ Desde cada una de las $C_i$ contribuye exactamente un $a$ o $b$, nos encontramos con exactamente $k$ de las opciones se $b$ y exactamente $n - k$ de las opciones se $a$. Desde allí se $\binom{n}{k}$ formas para elegir a la toma $b$ o no $b$ a partir de cada una de las $C_i$, terminamos con $\binom{n}{k}$ términos de $a^{n-k}b^k$.