¿Es la diferencia que el conjunto generador del grupo abeliano de generación finita no necesita ser linealmente independiente? Entiendo que tanto la base como el conjunto generador finito abarcan el grupo abeliano. Gracias por aclararlo.
Respuestas
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Cada grupo $G$ es el cociente de un grupo libre $F$. Decir que $G$ es finitely generado significa que $F$ tiene un conjunto finito de generadores. Diciendo base y linealmente independientes es la idea correcta, pero no es del todo correcto, ya que nos reservamos esas palabras para espacios vectoriales. Un finitely generado grupo tiene un número finito de generación del sistema y, posiblemente, algunas de las relaciones entre los generadores.
Para abordar tu comentario y expandir un poco, cada grupo $G$ tiene una presentación como un conjunto de generadores y relaciones. Por ejemplo, este grupo abelian: $$G = \left\langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1}, a^3, b^7 \right\rangle$$ Ahora este grupo de presentación es en realidad la abreviatura de $G$ siendo el cociente de la libre grupo de $\langle a,b\rangle$ por el subgrupo generado por los elementos de a$\langle aba^{-1}b^{-1}, a^3, b^7 \rangle$. Si usted desea obtener de fantasía y de uso más categórico de la lengua, que la presentación de $G$ será el cokernel del mapa $\langle x,y,z \rangle \to \langle a, b \rangle$, de tal manera que $x \mapsto aba^{-1}b^{-1}$, $y \mapsto a^3$, e $z \mapsto b^7$.
vautee
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Personalmente encuentro la siguiente perspectiva útil. Esto también se generaliza bien a otras situaciones.
Un grupo abelian $G$ es libre siempre que hay un isomorfismo $$ \alpha\colon\mathbf{Z}^I \a G $$ para algunos el índice set $I$. La costumbre de los generadores de $\mathbf{Z}^I$ a continuación se asignan a los generadores de $G$ por $\alpha$.
Un grupo abelian $H$ es finitely genera cada vez que hay un surjective homomorphism $$ \beta\colon\mathbf{Z}^n \H. $$ para algún número natural $n\in\mathbf{N}$. De nuevo, $\beta$ mapas de generadores los generadores, pero ahora pueden ser objeto de relaciones. En otras palabras, hay algunos subgrupos $R$ de $\mathbf{Z}^n$ tal que $H$ es isomorfo a $\mathbf{Z} ^n / R$.
En las situaciones anteriores, si $I$ pasa a ser un conjunto finito, o si $\beta$ pasa a ser inyectiva (o, equivalentemente, $R=0$), a continuación, $G$ o $H$ , respectivamente, son gratuitos y de finitely generado.
