El contrapositivo

Question

Considerando un modelo arbitrario, ¿es la ley del medio excluido el axioma más débil necesario para hacer que el contrario de una afirmación sea lógicamente equivalente a la afirmación? He visto y hecho la prueba lógica de primer orden, pero ¿qué pasa con otros tipos de lógicas como la lógica de valores múltiples? No estoy seguro de si uno necesita un axioma más fuerte o más débil para usar el contrapositivo.

Answer 1

Cuando usted habla acerca de la lógica, sin la ley de medio excluido, supongo que estás hablando de intuitionistic lógica. En este contexto, el axioma $(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)$ es equivalente a la ley de medio excluido, por lo que la respuesta a tu pregunta es sí.

Para ver esto, observe que $(p \to q) \to (\neg q \to \neg p)$ es un teorema de intuitionistic lógica, por lo que la utilidad de la dirección se $(\neg q \to \neg p) \to (p \to q)$. Conectar $\neg \neg q$$p$, obtenemos $(\neg q \to \neg\neg\neg q) \to (\neg \neg q \to q)$. Debido a $\neg q \to \neg\neg\neg q$ es un teorema de intuitionistic lógica (y, más en general así es$r \to \neg \neg r$)$\neg \neg q \to q$, la ley de la doble negación de la eliminación, el cual es bien conocido por ser equivalente a la ley de medio excluido.

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