Problemas para entender cómo se deriva esta identidad: $\sum_{j=0}^{\infty}\binom{a+j}{j}x^j=(1-x)^{-a-1}$

Question

$$\sum_{j=0}^{\infty}\binom{a+j}{j}x^j=(1-x)^{-a-1}$$

El $-a-1$ me está despistando. Puede alguien ayudarme a entender esta identidad.

He intentado dejar que $m=-a-1$ y luego aplicar el teorema del binomio, y dejar que la suma llegue a $\infty$ ya que cualquier cosa pasada $m$ será $0$ . Pero no llegué a ninguna parte porque todavía tendremos $(-1)^i$ en la suma.

Dado que existe la $\infty$ en la suma, también he intentado pensar en ello en términos de funciones generadoras pero no consigo llegar a ninguna parte.

Answer 1

Hay varias formas de demostrarlo. Aquí hay una. Aprovecharé el hecho de que $\binom{a+j}j=\binom{a+j}a$ para demostrar en cambio que

$$\frac1{(1-x)^{a+1}}=\sum_{j\ge 0}\binom{a+j}ax^j\;.$$

Empezar con el caso $a=0$ :

$$\frac1{1-x}=\sum_{j\ge 0}x^j\;.$$

Ahora diferencie con respecto a $x$ :

$$\frac1{(1-x)^2}=\sum_{j\ge 0}jx^{j-1}=\sum_{j\ge 0}(j+1)x^j=\sum_{j\ge 0}\binom{1+j}1x^j\;.$$

Hazlo de nuevo:

$$\frac2{(1-x)^3}=\sum_{j\ge 0}j\binom{1+j}1x^{j-1}\;,$$

así que

$$\begin{align*} \frac1{(1-x)^3}&=\frac12\sum_{j\ge 0}(j+1)\binom{2+j}1x^j\\ &=\frac12\sum_{j\ge 0}(j+1)\binom{2+j}{j+1}\\ &=\frac12\sum_{j\ge 0}(2+j)\binom{1+j}jx^j\\ &=\sum_{j\ge 0}\frac{2+j}2\binom{1+j}1x^j\\ &=\sum_{j\ge 0}\binom{2+j}2x^j\;. \end{align*}$$

Ahora usa eso como modelo para demostrar el resultado general por inducción en $a$ .

Otro enfoque, que utiliza más directamente las funciones generadoras, es observar que cuando se convulsiona una secuencia $\sigma=\langle a_n:n\in\Bbb N\rangle$ con la secuencia constante $\langle 1,1,1,\ldots\rangle$ se obtiene la secuencia de sumas parciales de $\sigma$ : $\langle a_0,a_0+a_1,a_0+a_1+a_2,\ldots\rangle$ . En particular, si

$$\frac1{(1-x)^{a+1}}=\sum_{j\ge 0}\binom{a+j}ax^j\;,$$

entonces

$$\frac1{(1-x)^{a+2}}$$

es la función generadora de la convolución de $\langle 1,1,1,\ldots\rangle$ con

$$\left\langle\binom{a+j}a:j\in\Bbb N\right\rangle\;,$$

por lo que el coeficiente de $x^n$ debe ser

$$\sum_{j=0}^n\binom{a+j}a=\binom{a+1+n}{a+1}$$

por lo que a veces se llama la identidad del palo de hockey. Es decir,

$$\frac1{(1-x)^{a+2}}=\sum_{j\ge 0}\binom{a+1+j}{a+1}x^j\;,$$

como se desee.

Answer 2

En primer lugar, en la identidad binómica $$(1+u)^m=\sum_{j=0}^\infty\binom mju^j$$ set $u=-x$ et $m=-a-1$ para obtener $$(1-x)^{-a-1}=\sum_{j=0}^\infty\binom{-a-1}j(-x)^j=\sum_{j=0}^\infty(-1)^j\binom{-a-1}jx^j.\tag{1}$$ A continuación, utilice la identidad $$\binom{-t}j=(-1)^j\binom{t+j-1}j\tag{2}$$ con $t=a+1$ para obtener $$(-1)^j\binom{-a-1}j=(-1)^j(-1)^j\binom{a+j}j=\binom{a+j}j.\tag{3}$$ De (1) y (3) obtenemos $$\boxed{(1-x)^{-a-1}=\sum_{j=0}^\infty\binom{a+j}jx^j.}$$ P.D. La identidad (2) se deduce directamente de la definición del coeficiente binomial: $$\binom{-t}j=\frac{(-t)(-t-1)(-t-2)\cdots(-t-j+1)}{j!}=(-1)^j\cdot\frac{t(t+1)(t+2)\cdots(t+j-1)}{j!}=(-1)^j\binom{t+j-1}j.$$