Espectáculo $\sum e^{-nx + \cos(nx)}$ se define en $(a, \infty) $ cualquier $a>0 \dots$

Question

Quiero demostrar que la $\sum e^{-nx + \cos(nx)}$ es definida y continua en el intervalo dado de $(a, \infty)$ donde $a >0$.

Entonces, ¿cómo es exactamente lo que puedo mostrar es definido? Parece trivial, dado que la función exponencial, la función lineal y la función coseno son todos "Definido" en los reales.

Además, para demostrar que es continua, proceder de la siguiente manera:

$$\sum e^{-nx + \cos(nx)}$$

Entonces, desde cada una de las funciones de $f_n$ son continuos, por la algebraicas continuidad teorema, las sumas parciales también será continua, y lo nuestro suma es continua.$$(\text{CAVEAT})$$ Antes de que pueda hacer el de arriba en negrita reclamo, me debe mostrar primero la serie es uniformemente convergente, correcto??

Por lo tanto, si ese es el caso, utilizamos el M-test. Debemos encontrar una $M_n > 0$ tal forma que:

$$|f_n(x)| \leq M_n$$ sostiene.

$$|f_n(x)| = |e^{-nx + \cos(nx)}| = e^{-nx}e^{\cos(nx)}$$ desde $\max \cos(nx) = 1$ $$\implies e^{-nx}e^{\cos(nx)} \leq e^{-nx}e$$

Esperamos que estas propiedades en el intervalo de $(a, \infty)$

Así

$$|f_n(x)| \leq e^{-ax}e = M_n$$

¿Cómo podemos concluir que $\sum M_n$ converge, sin embargo? Es este un hecho trivial, ya que la exponencial disminuye tan rápido? Me pregunta este último paso, porque $\frac{1}{x} \to 0$, pero la suma no converge.

Una vez que haya establecido la continuidad, ¿cómo puedo establecer es diferenciable con un continuo derivado?

Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Para la convergencia uniforme tenemos $$\sum_{n\geq1}e^{-nx+\cos\left(nx\right)}\leq\sum_{n\geq1}e^{-nx}\leq\sum_{n\geq1}e^{-na}=\frac{1}{e^{a}-1} $$ then we have uniform convergence by M-test. For the differentiation, we have to prove that $$f'\left(x\right)=\sum_{n\geq1}f_{n}'\left(x\right) $$ and so the uniform convergence of $\sum_{n\geq1}f_{n}'\left(x\right) $. Note that we have $$\left|\sum_{n\geq1}e^{-nx+\cos\left(nx\right)}\left(-n-n\sin\left(nx\right)\right)\right|\leq2\sum_{n\geq1}ne^{-na}=\frac{2e^{a}}{\left(e^{a}-1\right)^{2}} $$ entonces su reclamo.