¿Donde esta la igualdad sobre la expectativa de variables aleatorias?

Question

Con el fin de demostrar este Lema en mi curso acerca de la Probabilidad :

Deje $X=(X_1,\dots ,X_p)$ ser una gaussiana variable aleatoria tal que $\mathbb{E}[X_j]=0$ todos los $j=1,\dots,p$. A continuación, $2\mathbb{E}[\sum_{j=1}^pX_j^2] \le [\mathbb{E}[e^{-\sum_{j=1}^p X_j^2}]]^{-2}$

el maestro supongamos que $X$ tiene una ley normal es decir $X\sim N_p(0,\Lambda)$ donde $\Lambda$ es una matriz diagonal con $\lambda_{jj}=\sigma_j^2$, yo.e $\Lambda=\left( \begin{array}{ccc} \lambda_{11} & \dots & & 0 \\ 0 & \lambda_{22} & \dots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0&0&0&\lambda_{nn} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \sigma_1^2 & \dots & & 0 \\ 0 & \sigma_2^2 & \dots &0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0&0&0&\sigma_p^2 \end{array} \right)$

Entonces él escribió, y aquí es donde me pierdo, $\mathbb{E}[e^{-X_j^2}]=(1+2\sigma_j^2)^{-1/2}$. De dónde viene este resultado ?

Answer 1

En primer lugar, $X_j=\sigma_jZ$ donde $Z$ $\mathcal{N}(0,1)$ variable, y por lo tanto,$X_j^2=\sigma_j^2Z^2$. Es bien sabido que el $Z^2\sim\chi^2(1)$, es decir, sigue una distribución chi-squared con $1$ grados de libertad. Ahora, la expresión $$ E\left[e^{-X_j^2}\right]=E\left[e^{-\sigma_j^2Z^2}\right] $$ es justo el momento de generación de la función de $Z^2$ evaluado en $-\sigma_j^2$, es decir, $$ E[e^{-X_j^2}]=M_{Z^2}(-\sigma_j^2)=\left(1+2\sigma_j^2\right)^{-1/2} $$ de acuerdo a, por ejemplo, el artículo de la wikipedia. Tenga en cuenta que $-\sigma_j^2<\frac{1}{2}$ como se debe para que el momento de generación de función a estar bien definidos.

Answer 2

Stefan Hansen ha escrito una respuesta; ahora vamos a tratar de una manera diferente: sólo hacerlo desde cero. Supongamos que la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria $X$ es $$ x\mapsto \frac{1}{\sqrt{2\pi}\ \sigma} e^{-x^2/(2\sigma^2)}. $$ Entonces $$ \mathbb E E^{-X^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\ \sigma} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-x^2/(2\sigma^2)} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\ \sigma} \int_{-\infty}^\infty \exp\left( \frac{-x^2}{2\left(\frac{\sigma^2}{1+2\sigma^2}\right)} \right) \, dx $$ $$ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\ \sigma} \int_{-\infty}^\infty \exp\left( \frac{-x^2}{2\tau^2} \right) \, dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\ \sigma} \cdot\sqrt{2\pi} \ \tau = \frac\tau\sigma $$ (donde, por supuesto, $\tau^2=\dfrac{\sigma^2}{1+2\sigma^2}$) $$ = \frac{1}{\sqrt{1+2\sigma^2}}. $$