Qué condiciones en un mapa de los esquemas de garantía de que el retroceso global de las secciones es inyectiva?

Question

Considere la posibilidad de un morfismos de esquemas $f: X \rightarrow Y$. Qué condiciones en $f, X, Y$ son suficientes para garantizar que $H^0(Y, \mathscr{F}) \rightarrow H^0(X, f^* \mathscr{F})$ es inyectiva para

• Todos los $\mathscr{O}_Y$ módulos de $\mathscr{F}$?
• Todos los (cuasi-)coherentes $\mathscr{O}_Y$ módulos de $\mathscr{F}$?

Una condición necesaria para la primera y la segunda pregunta es que $f$ es surjective cerrados puntos, ya que si $y \in Y \setminus f(X)$ es cerrado, podemos tomar $\mathscr{F} = i_* \mathscr{O}_{k(y)}$. A continuación, para cualquier $x \in X$, $(f^* \mathscr{F})_x \simeq \mathscr{F}_{f(x)} = 0$, por lo $f^* \mathscr{F} = 0$. Pero $H^0(Y, \mathscr{F}) = k(y) \neq 0$.

En el caso de que $\mathscr{F}$ es un local libre de gavilla, $f$ es cuasi-compacto y $Y$ es reducido, esta condición también es suficiente (y, de hecho, sólo necesitamos $f$ a ser el dominante). Para ver esto, el mapa de $H^0(Y, \mathscr{F}) \rightarrow H^0(X, f^* \mathscr{F})$ es el mundial de parte de la canónica mapa de poleas $\mathscr{F} \rightarrow f_* f^* \mathscr{F}$. Deje $U$ ser afín conjunto abierto tal que $\mathscr{F}|_U \simeq \mathscr{O}_U$. A continuación, en $U$, la canónica mapa se identifica con el mapa de la estructura de $\mathscr{O}_U \rightarrow f_* \mathscr{O}_{f^{-1}(U)}$, que es inyectiva ya que $\mathscr{O}_Y \rightarrow f_* \mathscr{O}_X$ es inyectiva bajo estas hipótesis.

Es esta condición también suficiente para las dos primeras preguntas?

El afín versión de la pregunta es:

• Las extensiones de anillos de $A \subseteq B$ tienen la propiedad de que para cualquier (resp. cualquier finitely presentados) $A$-módulo de $M$, el mapa de $M \rightarrow M \otimes_A B$ es inyectiva?

Ya que este siempre tiene al $M$ plano (lo que implica localmente libre en el finitely caso presentado), parece natural suponer que deberíamos exigir $B$ a ser fielmente plana por $A$. Sin embargo, no puedo encontrar una manera de utilizar esta propiedad o un contraejemplo al $\mathrm{Spec} \ B \rightarrow \mathrm{Spec} \ A$ es surjective sino $B$ no es plana por $A$.

EDIT he encontrado una respuesta parcial a esta pregunta en EGA IV-2 2.2.8: si $X, Y$ son arbitrarias y $f$ es fielmente plano, entonces la canónica de morfismos es inyectiva para todo gavillas de cuasi-coherente de los módulos. Esto va por la identificación de la global secciones de $\mathscr{F}$ con morfismos $u: \mathscr{O}_Y \rightarrow \mathscr{F}$, y observando que la canónica mapa está de acuerdo con el mapa de $u \rightarrow f^*(u)$. Fieles planitud dice que si $f^*(u) = 0$$u = 0$. En realidad, la Observación 2.2.9 dice que el $\mathscr{O}_Y$-módulo de $\mathscr{F}$ no necesita ser cuasi coherente para esta prueba, aunque la prueba está claro para mí.

También, Alex proporciona un contraejemplo en caso de que $f$ es surjective pero no plana. Así que ahora, la pregunta que queda es: Si $X$ $Y$ son "lo suficientemente bueno", $f$ realmente tiene que ser plana?

EDIT 2 Aquí es fácil contraejemplo al $X, Y$ son a la vez suave, pero no integral. Vamos $Y = \mathbf{A}^1$, $X = (\mathbf{A}^1 \setminus \{0\}) \sqcup \{0\}$, y $f$ el mapa dado en los anillos por $k[x] \rightarrow k \times k[x,x^{-1}]$, $x \mapsto (0, x)$. A continuación, vamos a $\mathscr{F}$ ser coherente gavilla correspondiente al módulo $k[x]/x^2$. $f^* \mathscr{F} \simeq k$, desde $(0,1) = x^2 * x^{-2}$ es asesinado. A continuación, $x$ mapas a $0$ en la sección global del mapa.

Answer 1

Si $Y$ es Noetherian, de modo que cualquier cuasi coherente gavilla puede ser escrito como un límite coherente, poleas, entonces podemos ver que las preguntas para la coherencia y cuasi coherente poleas son equivalentes.

Además, el pushforward de un cuasi coherente gavilla en las $U\subset Y$ es cuasi coherente en $Y$, así que la pregunta para $f:X \to Y$ es equivalente a la análoga pregunta para cada una de las $f^{-1}(U) \to U$ $U$ rangos de los miembros de una cubierta abierta de a $Y$, es decir, una afín a la tapa abierta.

Si $f$ es cuasi-compacto (por ejemplo, si $X$ es también Noetherian), a continuación, $f^{-1}(U)$ es una unión de un número finito de cuñados, y así podemos encontrar un surjective mapa de $V \to f^{-1}(U)$ con afín a la fuente que es localmente en el dominio abierto de inmersión, y entonces la pregunta se reduce al caso de $V \to U$, con $U$ $V$ afín.

En este caso, ya que básicamente ha sido observado ya, una condición suficiente es que el correspondiente anillo mapa de $A \to B$ admite una sección (como morfismos de $A$-módulos), o incluso admite una sección, después de una fielmente base plana de cambio. (Por lo tanto si $X\to Y$ es fielmente plano, se obtiene una respuesta positiva, porque si $A \to B$ es fielmente plano, entonces la base cambiado de morfismos $B \to B\otimes_A B$ admite una sección, incluso como un mapa de los anillos, es decir, la multiplicación de mapa de $B\otimes_A B \to B$.)

Hay otros casos en los que uno necesariamente tiene secciones: por ejemplo, Hochster directa sumando conjetura, cuya prueba se ha completado recientemente por Andre (ver aquí) muestra que si $R \subset S$ es una extensión finita con $R$ un Noetherian regular anillo se divide como un mapa de $R$-módulos. Así que si $X\to Y$ es finita surjective de morfismos de Noetherian esquemas, con $Y$ además regular, entonces la pregunta tiene una respuesta positiva (pero usted debe comprobar que mi reducciones a los afín caso son correctas!).