Isomorfismo tipo de grupo de Galois

Question

$f=(x^2-2)(x^3-3)$. Deje $K$ ser la división de campo de la $f$$\mathbb{Q}$. a) Determinar el grado de extensión de $K$$\mathbb{Q}$. b) Determinar el tipo de isomorfismo de que el grupo de Galois de $K$$\mathbb{Q}$.

Tengo la parte (a), en la que han mostrado que el $K=\mathbb{Q}(2^{(1/2)}, 3^{(1/3)}, 3^{(1/2)}i)$ y, por tanto, el grado de extensión de la es $12$. No estoy seguro de cómo calcular la parte (b).

Answer 1

Parte de la dificultad es que el $f$ no es irreducible, así que mucha de la norma trucos no funcionan. Podemos resolver este problema mediante la división de $f$ en sus dos irreductible subcomponentes, $$g(X) = X^2-2\\h(X) =X^3-3$$

Deje $K_g$ $K_h$ ser la división de los campos de $g$ $h$ $\mathbb Q$ respectivamente. Usted debe ser capaz de trabajar de los grupos de Galois de $K_g$ $K_h$ como extensiones de $\mathbb Q$.

Ahora $K$ es exactamente el compositum $K_g\cdot K_h$, y ahora podemos usar el siguiente teorema:

Teorema: Supongamos que $K$ es un campo, y $L,L'$ son extensiones de Galois de $K$. Si $L\cap L' = K$, luego $$\mathrm{Gal}(L\cdot L'/K) \cong \mathrm{Gal}(L/K) \times \mathrm{Gal}(L'/K)$$

La prueba de este teorema consiste en mostrar que el mapa de restricción $$\mathrm{Gal}(L\cdot L'/K) \cong \mathrm{Gal}(L/K) \times \mathrm{Gal}(L'/K)\\\sigma\mapsto(\sigma\vert_L,\sigma\vert_{L'})$$ es un isomorfismo. El mapa es, sin duda inyectiva, ya que si $\sigma$ actos trivialmente en $L$$L'$, entonces actúa trivialmente en $L\cdot L' = K$. El hecho de que $L\cap L' = K$ nos permite mostrar que es surjective.

Answer 2

Me permiten continuar en una similar, pero no idéntica, a la moda para Mathmo. Deje $L$ ser la división de campo de la polinomio irreducible $x^{3}-3 \in \mathbb{Q}[x]$ y deje $M$ ser la división de campo de la polinomio irreducible $x^{2}-2 \in \mathbb{Q}[x]$. No estoy seguro de cuánto de la Teoría de Galois se han cubierto, pero ${\rm Gal}(K/L)$ ${\rm Gal}(K/M)$ son normales subgrupos de ${\rm Gal}(K/\mathbb{Q}).$ Cualquier automorphism de $K$ que fija tanto en $L$ $M$ (elementwise), revisiones de cada raíz de $f$, por lo que es la trivial automorphism. Por otro lado, por el teorema fundamental de la Teoría de Galois ( que se aplica desde $L$ $M$ son cada división de los campos en su propio derecho, por lo que las extensiones de Galois de $\mathbb{Q}$), tenemos ${\rm Gal}(M/\mathbb{Q}) \cong {\rm Gal}(K/\mathbb{Q})/{\rm Gal}(K/M)$ ${\rm Gal}(L/\mathbb{Q}) \cong {\rm Gal}(K/\mathbb{Q})/{\rm Gal}(K/L)$ . Por lo tanto, tenemos (buscando en el grupo de los pedidos y el uso de diversos grupo de teoremas de isomorfismo) que ${\rm Gal}(K/\mathbb{Q}) \cong {\rm Gal}(K/M) \times {\rm Gal}(K/L) \cong {\rm Gal}(M/\mathbb{Q}) \times {\rm Gal}(L/\mathbb{Q})$. Probablemente, usted puede averiguar lo que estos factores son (pero sólo en el caso, el de más a la derecha del factor grupo no es Abelian).