Integración de $\int_0^{2\pi}(e^{\cos x}\cos x\sin x) \,dx$

Question

¿Puede alguien ayudarme con esta integración?

$$\int_0^{2\pi}(e^{\cos x}\cos x\sin x)\,dx$$ Recibo la respuesta como $0$ utilizando simplemente las propiedades de la integral definida

PERO la respuesta de mi profesor es $2\pi$

Ayuda, por favor. Gracias.

Answer 1

Utilizando $$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$$

Si $\displaystyle f(x)=e^{\cos x}\sin x\cos x,$

$\displaystyle f(2\pi+0-x)=e^{\cos(2\pi+0-x)}\sin(2\pi+0-x)\cos(2\pi+0-x)=e^{\cos x}\cos x(-\sin x)=-f(x)$

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También poniendo $\cos x=u,$

$$\int_0^{2\pi}e^{\cos x}\sin x\cos x=-\int_1^1e^u\cdot u\ du$$

La parte indefinida puede gestionarse mediante la integración por partes.

Pero como los límites superior e inferior son iguales, el resultado tiene que ser cero.

Answer 2

He aquí otra forma de verlo:

$$\begin{align} \int_{0}^{2\pi}e^{\cos{x}}\cos{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x &=\int_{-\pi}^{\pi}e^{\cos{x}}\cos{x}\sin{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{-\pi}^{\pi}e^{\cos{x}}\frac{\sin{(2x)}}{2}\,\mathrm{d}x \end{align}$$

Answer 3

Si haces la simple sustitución $u = \mathrm{e}^{\cos x}$ entonces usted encontrará que $\mathrm{d}u = -\mathrm{e}^{\cos x}\sin x~\mathrm{d}x$ . Además, $\cos x = \ln u$ . Cuando $x=0$ , $u=\mathrm{e}^{\cos 0} = \mathrm{e}$ y cuando $x=2\pi$ , $u=\mathrm{e}^{\cos 2\pi} = \mathrm{e}$ . Por lo tanto $$\int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{\cos x}\sin x~\cos x ~ \mathrm{d}x = \int_0^0 - \ln u~\mathrm{d}u=0$$ No necesitas evaluar la integral porque los límites superior e inferior son iguales, así que la integral se evaluará a cero. Si quisieras evaluar la integral verías que $$\int \mathrm{e}^{\cos x}\sin x~\cos x~\mathrm{dx} = \int - \ln u~\mathrm{d}u = u(1-\ln u) + C = \mathrm{e}^{\cos x}(1-\cos x)+C$$