Si $A[[x]]$ es Noetherian, se $A$ ser Noetherian?

Question

Deje $A$ ser un anillo conmutativo con unidad y $A[x]$ ser el polinomio anillo con coeficientes en $A$. A continuación, $A$ es Noetherian si y sólo si $A[x]$ es Noetherian. Este se obtiene por Hilbert Teorema de la Base y que cualquier cociente del anillo de un Noetherian anillo es Noetherian.

Deje $A[[x]]$ ser el poder formal de la serie de anillo con coeficientes en $A$. Puede demostrarse que si $A$ es Noetherian, a continuación, $A[[x]]$ es Noetherian. ¿Y a la inversa? Si $A[[x]]$ es Noetherian, se $A$ ser Noetherian? Tenga en cuenta que $A$ no es igual a $A[[x]]/(x)$ por lo que el argumento en el polinomio caso no se sostiene. Podría dar un contraejemplo? Muchas gracias.

Answer 1

A pesar de su reclamo, creo que el $A=A[[x]]/(x)$. Tomar el mapa de tomar un elemento general $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n \to a_0$. Claramente, es un homomorphism de $A[[x]] \to A$. Entonces, el núcleo contiene cada elemento con el término constante cero. No es esto igual a la ideal $(x)$? Por los "cocientes de noetherian anillos son noetherian" argumento que usted cita, esto demuestra el resultado.

Déjeme saber si hay un error en mi lógica.