Dadas dos $n\times n$ matrices $A,B\in M_n(\mathbb{C})$ tal que $B>0$, e $\text{tr}(B)=1$ si $A^{\dagger}BA=B$, ¿esto implica, necesariamente, que el $A$ es unitaria? ¿Cómo puedo demostrarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No. Vamos
$$A=\begin{pmatrix} \frac 12&-\sqrt{\frac 38}\\ \sqrt{\frac 32}&\frac 12\\ \end{pmatrix}$$
y
$$B=\begin{pmatrix} \frac 23&0\\ 0&\frac 13\\ \end{pmatrix}$$ Entonces $B>0$, $\mathrm{tr}(B)=1$, y $A^\dagger BA=B$ pero
$$A^\daga A=\begin{pmatrix} \frac 74&\sqrt{\frac 3{32}}\\ \sqrt{\frac 3{32}}&\frac 58\\ \end{pmatrix}$$
