Suponiendo que $\max(x, y, z), \min(x,y,z), \operatorname{med}(x,y,z)$ son realmente $|\max(x, y, z)|, |\min(x, y, z)|, |\operatorname{med}(x, y, z)|$ .
No es una prueba real, sólo un esbozo. Como la fórmula es simétrica bajo permutaciones de $x, y, z$ Supongamos que $0 \leq x \leq y \leq z$ Así que $$ \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \alpha x + \beta y + \gamma z. $$ Ya que estamos interesados en relativa error, considere un punto en el círculo unitario. $z^2 = 1 - x^2 - y^2$ . El error es la desviación absoluta entre $\alpha x + \beta y + \gamma z$ y uno. La condición $0 \leq x \leq y \leq z$ en el círculo unitario es equivalente a las siguientes condiciones $$ 0 \leq x \leq y\\ \sqrt{1-x^2-y^2} \geq y \Leftrightarrow x^2 + 2y^2 \leq 1 $$ Así que llegamos a un problema minimax $$ \begin{aligned} \operatorname{minimize}\limits_{\alpha, \beta, \gamma} \max_{\substack{x \geq 0\\y \geq x\\x^2 + 2y^2 \leq 1}} \big|1 - \alpha x - \beta y - \gamma \sqrt{1-x^2-y^2}\big| \end{aligned} $$ Eso es difícil.
Podemos Supongamos que que la desviación máxima es igual en las tres esquinas y opuesta a la desviación en el extremo local en el interior.
El extremo interior es simple debido al significado geométrico. Es igual a la distancia del plano dada por $C = \alpha x + \beta y + \gamma z$ al origen de la esfera restado uno (radio de la esfera). Así que la desviación en el extremo es $$ \Delta = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2} - 1. $$ La desviación en las esquinas $(0,0),\,(0,\frac{1}{\sqrt{2}}),(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}))$ se calcula fácilmente: $$ \Delta_1 = 1 - \gamma\\ \Delta_2 = 1 - \frac{\beta + \gamma}{\sqrt{2}}\\ \Delta_3 = 1 - \frac{\alpha+\beta+\gamma}{\sqrt{3}} $$ Resolver $\Delta = \Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3$ para $\alpha, \beta, \gamma$ obtenemos $$\begin{aligned} \alpha = \frac{1}{4} \left(2 \sqrt{14+6 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}}-\left(2+\sqrt{2}\right) \left(1+\sqrt{3}\right)\right) &\approx 0.29870618761437979596\\ \beta = \operatorname{root}_6(1 - 4 z - 14 z^2 + 32 z^3 + 45 z^4 - 20 z^5 - 20 z^6 + 4 z^7 + z^8) &\approx 0.38928148272372526647\\ \gamma = \operatorname{root}_8(1 - 4 z - 2 z^2 + 20 z^3 - 3 z^4 - 32 z^5 + 4 z^6 + 16 z^7 + z^8) &\approx 0.93980863517232523127 \end{aligned} $$ El error $1 - \gamma$ está ligeramente por encima de $6\%$ . Tenga en cuenta que accidentalmente he invertido su $\alpha. \beta, \gamma$ . Este resultado parece prometedor, pero puede ser erróneo. Tenga en cuenta que $\beta$ y $\gamma$ se acercan bastante a los óptimos 2D.
He hecho un simple Mathematica script para echar un vistazo al problema minimax. Aquí está
Manipulate[
ContourPlot[\[Alpha] x + \[Beta] y + \[Gamma] Sqrt[1 - x^2 - y^2] -
1, {x, 0, 1}, {y, 0, 1},
RegionFunction -> Function[{x, y}, x <= y && x^2 + 2 y^2 <= 1],
Contours -> Range[-0.2, 0.2, 0.01]
]
, {{\[Alpha], 0.2987061876143797`}, 0,
1}, {{\[Beta], 0.38928148272372454`}, 0,
1}, {{\[Gamma], .9398086351723256`}, 0, 1}]
![]()
Así que parece que la sugerencia es sana y que hemos encontrado al menos el óptimo local del problema.
