Calcular El Cociente De Espacio

Question

He estado luchando con este cálculo por un tiempo ahora. Pensé que estaba casi allí, pero ahora resulta que yo todavía no tienen nada. Así que aquí está el problema inicial:

Deje $c=\left\{ (x_j)_j \subset \mathbb{C}: (x_j)_j \ \text{is a convergent sequence }\right\}$ equipada con el supremum norma $\|\cdot\|_\infty$, e $Y=\left\{ (x_j)_j \in c : (x_j)_j \ \text{is a constant sequence }\right\}$. Calcular $c/Y$, que es encontrar el espacio de Banach a quien $c/Y$ es isométricamente isomorfo.

Tres cosas que uno debe saber para enfrentar este problema:

1) La relación de equivalencia considerar aquí es $x \sim y$ fib $\ x-y \in Y$

2) El cociente del espacio es $c/Y = \{ [x]: x \in c \}$

3) La norma en $c/Y$ está dado por $\|[x]\|=\inf_{y \in [x]} \{\|y\|_\infty\}$

Mis avances: ya me han demostrado que, a $Y \subset c$ es un subespacio cerrado, así que, de hecho, $c/Y$ es un espacio de Banach. Permite ahora considere el $c_0=\left\{ (x_j)_j \in c: x_j \to 0 \text{ as } j \to \infty \right\}$, y definir $S \subset c_0$ como sigue $$S= \left\{ (z_j)_j \en c_0 : \sum_{j=1}^{\infty} z_j \ \text{ converge en } \mathbb{C} \right\}.$$ Tengo la primera conjetura que $c/Y \cong S$, y la definición de $\Phi: c/Y \to S$ $$\Phi([(x_j)_j]) : = (x_j-x_{j+1})_j \ \ \ \text{para } \ \ (x_j)_j \en c$$ He conseguido mostró que $\Phi$ i)Lineal, ii)Inyectiva y iii) A, sin embargo, yo no podía probar la iv)Isometría parte.

EDIT: ahora sé, gracias a @Jochen comentario que probar iv) es imposible, ya que $S$ no es en sí un espacio de Banach, y pensé que era, por lo $c/Y$ $S$ sólo son isomorfos, pero no son el mismo espacio de Banach.

Así que mi pregunta ahora los cambios, ya que $S$ no es isométricamente isomorfo a $c/Y$ de Banach que el espacio debe de ser? Es correcto que todavía está buscando un $c_0$ subespacio ot podría ser algo totalmente diferente.Estoy despistado ya que todos mis apuestas donde en $S$. Agradecería mucho cualquier ayuda que se dan aquí.

Answer 1

Es bien sabido (y fáciles de ver) que $c/Y$ es isomorfo a $c_0$. Tan sólo tenemos que renorm $c_0$, de modo que el natural mapa entre ellos es una isometría. De hecho, la norma $|||\cdot|||$ va a hacer, donde \begin{equation*}|||(x_n)|||=\frac{1}{2}\sup_{m,n}|x_n-x_m|.\end{ecuación*} Observe que para cualquier $(x_n)\in c_0$ hemos \begin{equation*}\|(x_n)\|_{c/Y}=\inf_{x\in\mathbb{C}}\|(x_n)-x\|_\infty=\inf_{r\in\mathbb{C}}\sup_n|x_n-r|.\end{ecuación*} Para cualquier $m,n$, vamos a $r(m,n)$ ser el punto medio entre el$x_m$$x_n$, por lo que \begin{equation*}\sup_{m,n}|x_n-x_m|=2\sup_{m,n}|x_n-r(m,n)|\geq 2\inf_{r\in\mathbb{C}}\sup_n|x_n-r|.\end{ecuación*} Para revertir la desigualdad, se observa que para cualquier $r\in\mathbb{C}$ hemos \begin{equation*}\sup_{m,n}|x_n-x_m|\leq\sup_{m,n}(|x_n-r|+|x_m-r|)\leq 2\sup_n|x_n-r|\end{ecuación*} y por lo tanto \begin{equation*}\sup_{m,n}|x_n-x_m|\leq 2\inf_{r\in\mathbb{C}}\sup_n|x_n-r|.\end{ecuación*} Por lo tanto, $c/Y$ es isométrico a $(c_0,|||\cdot|||)$ a través de la natural mapa.

Answer 2

Deje $S$ ser el subespacio de $c$ de secuencias convergentes $x = (x_1,x_2,\dotsc)$ satisfacción $\sup x + \inf x = 0$. Deje $y_\alpha$ denotar la constante de secuencia $\alpha, \alpha, \dotsc$. Deje $h(x)$ denotar el número de $\sup(x) + \inf(x) \over 2$, a Continuación, el mapa de $c/Y \rightarrow S$ $[x] \mapsto x - y_{h(x)}$ es una isometría en $S$.