Probabilidad de una distribución normal con media desconocida

Question

Todavía soy bastante nuevo en el tema de la probabilidad y la estadística y no estoy seguro de cómo hacer esta pregunta.

La variable aleatoria R, también distribuida normalmente, tiene una desviación típica de 3,59 con media desconocida. Hallar el mayor valor posible de $P(-3.74<R<5.82)$ .

Intenté integrar la función de distribución normal utilizando la expansión de Maclaurin, pero quedó muy lioso y estoy seguro de que hay una forma mejor de hacerlo.

Answer 1

Mira el forma de la función de densidad de probabilidad normal . Es unimodal y simétrica. Así que la probabilidad de cobertura se maximiza si la media de la distribución, $\mu$ coincide con la mitad de su intervalo, es decir, $1.04$ . Este resultado es independiente de la desviación típica, $\sigma$ . Sin embargo, la probabilidad alcanzada depende de $\sigma$ .

Answer 2

$$g(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}$$

$$P(a<x<b)=\int_a^b{g(x)dx}=\int_a^b{\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}}dx$$ Dónde $a=-3.74$ , $b=5.82$ y $\sigma=3.59$

Lo que le interesa es encontrar $\mu$ que maximiza $P$ $$\frac{\partial P(a<x<b)}{\partial \mu} =0$$

EDITAR

Como mencionó Luis Mendo, dado que la distribución Normal es centralizada y simétrica, el máximo estaría en el centro del intervalo independientemente de la desviación típica.

$$\mu=\frac{a+b}{2}=\frac{3.74+5.82}{2}$$