¿Por qué una matriz simétrica compleja no es diagonalizable?

Question

Sé que una matriz hermitiana es diagonalizable, y del mismo modo una matriz simétrica real es diagonalizable, pero qué pasa con una matriz simétrica compleja.

¿Por qué falla el proceso de Gram-Schmidt?

Answer 1

En primer lugar, hay un contraejemplo fácil. La matriz simétrica compleja $$\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}$$ no es diagonalizable, porque la traza y el determinante son cero, pero la matriz no es cero. Ahora intente el proceso de Gram-Schmidt en este ejemplo.

Answer 2

Como señalaron Chris Godsil y Dietrich Burde, es porque $\langle x,y \rangle =x^*y=0$ que es la condición de ortogonalidad de los vectores complejos no implica que $x^Ty=0$ que es la condición de simetría compleja.

Así que el proceso de Gram Schmidt realmente producirá vectores ortogonales, pero no podrán diagonalizar la matriz.