Cómo determinar $\prod_{g\in G}g$ en todos los generalidad

Question

Esta pregunta se basa en otra pregunta que se cierra como un duplicado:Cómo determinar $\prod_{g\in G}g$?, que estaba en la reapertura de la cola, pero se retira de nuevo, así que me decidí a preguntar a mí mismo. ("Esta pregunta se ha hecho antes y ya tiene una respuesta. Si esas respuestas no tienen plenamente en cuenta su pregunta, por favor, hacer una nueva pregunta.") Así que la pregunta era

Deje $G$ ser un número finito de Abelian grupo, para luego determinar $\prod\limits_{g\in G}g.$

Esta pregunta tiene respuestas en el post original y aquí. Yo razonaba de la siguiente manera:

• Si no hay ningún elemento de orden 2, cada elemento y su inversa aparecen en el producto, y la identidad de $e$ aparece una vez, de tal manera que el producto es igual a $e$. Por Cauchy teorema, este es el caso cuando se $\mathrm{order}(G)$ es impar.

• Si $\mathrm{order}(G)$ es aún, por medio del teorema de Cauchy, existe un elemento de orden $2$. Supongamos que hay $k$ elementos de orden $2$ y denotan estas por $g_1,g_2,\ldots,g_k$. Luego, debido a que $G$ es abelian por supuesto, $\{e,g_1,g_2,\ldots,g_k\}\subset G$ es un subgrupo de (comprobarlo). Entonces por Cauchy teorema de nuevo, el fin de este subgrupo debe ser, incluso, lo $k$ es impar. Si escribimos $\prod_{g\in G}g$ ahora, se observa que para todos los $g\not\in\{e,g_1,g_2,\ldots,g_k\}$, tanto en el elemento y su inversa aparece exactamente una vez en el producto, dando así el elemento de identidad. Por consiguiente, el producto reduce a $\prod_{i=1}^{k}g_i$. Para $k=1$, es simple, $\prod_{g\in G}g=g_1$ $k=3$ también: $\prod_{g\in G}g=g_1\circ g_2\circ g_3=g_3^2=e$, ya que el $g_1\circ g_2\not\in \{e,g_1,g_2\}$. Para cualquier $k>3$ (en el caso general) el producto se reduce a exactamente un elemento en $\{e,g_1,g_2,\ldots,g_k\}$, pero para ser honesto, no veo cómo inferir nada acerca de esto.

Así que esto no es un duplicado de las mismas preguntas, la forma en que lo veo, porque se le pide determinar el producto en todos los casos. Tal vez alguien sabe cómo calcular el producto para $k>3$.

Pregunta: para el caso descrito anteriormente, ¿cómo puedo determinar la $\prod\limits_{g\in G}g$? Este caso no es tratada en las otras respuestas. Obviamente, el producto reduce a exactamente un elemento en $\{e,g_1,g_2,\ldots,g_k\}$, pero podemos decir que para que los valores de $k$ el producto es igual a $e$ y cuando es igual a un no-elemento de identidad de $\{e,g_1,g_2,\ldots,g_k\}$?

Y por favor, no cierre de nuevo a menos que haya una buena razón. También, si me falta algo, y yo estoy pidiendo algo que es totalmente trivial, por favor explique! Gracias de antemano!

Answer 1

En el caso general, usted siempre obtener la identidad. En primer lugar observamos que los elementos de orden $2$ no sólo tiene la estructura de un grupo abelian, pero también de un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_2$.

Entonces usted está preguntando por lo que la suma de cada elemento en un número finito de dimensiones de espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_2$ es. La respuesta es de $0$ menos que la dimensión es$1$, en cuyo caso el elemento distinto de cero. Para ver esto, ya sea el uso de la inducción partir de la 2-dimensional caso o simplemente tenga en cuenta que la respuesta debe ser invariante bajo la acción de $GL_n(\mathbb{F}_2)$, que actúa transitivamente sobre los vectores no nulos.

Answer 2

Además de todas las respuestas, también hay una muy cuidada, pero no trivial de la respuesta a la pregunta general ¿Cuál es el conjunto de todos los diferentes productos de todos los elementos de un grupo finito $G$? Por lo $G$ no necesariamente abelian.

Así, si un $2$-subgrupo de Sylow de $G$ es trivial o no cíclico, luego de este conjunto es igual a la del conmutador subgrupo $G'$.

Si un $2$-subgrupo de Sylow de $G$ es cíclico, entonces este juego es el coset $xG'$ del colector subgrupo, con $x$ el único involución (=elemento de orden $2$) $2$- subgrupo de Sylow.

Véase también J. Dénes y P. Hermann, `En el producto de todos los elementos en un grupo finito', Ann. La Matemática Discreta. 15 (1982) 105-109. El teorema se conecta a la teoría de los Cuadrados latinos y los llamados mapas completos.

Answer 3

Tengo una nueva idea. Me gustaría escribir más en aras de la exhaustividad, aunque podría ser bastante simple a uno a pensar. Por favor, eche un vistazo.

Supongamos $G$ a de un número finito de Abelian grupo.

$$G_2:=\{x\in G\mid |x|=2\}$$

Es fácil mostrar $G_2$ es un subgrupo de $G$; y, obviamente, $G_2$ $2$- grupo, por lo tanto $G_2\cong C_2\times \cdots\times C_2$.

Por lo tanto, para algunos $n\in\mathbb{N}_+$, $G_2=\langle a_1\rangle\times\cdots\times \langle a_n\rangle$, donde $a_i\in G_2$, $i=1,...,n$.

A continuación, un elemento $a$ $G_2$ fib puede escribirse de manera única como producto de $1$ $a_i$ algunos $i\in\{1,...,n\}$ (no en repetidas ocasiones).

Por lo tanto $\prod_{a\in G_2}a$ es en realidad producto de $a_i$ (repetible). Podemos contar exactamente cuántas veces $a_i$ repite; y que es $$\binom{n-1}{0}+ \binom{n-1}{1}+ \cdots+ \binom{n-1}{n-1}=2^{n-1}=\left\{\begin{array}{ll} 1,&n=1;\\\text{an even number}, &n>1.\end{array}\right. $$

Desde $G_2\leq G$ es Abelian, hemos terminado.

Answer 4

He aquí una prueba basada en el teorema fundamental de finitely generado abelian grupos. Debido a que utiliza abelian grupos, voy a utilizar el aditivo de la notación.

Cualquier finito grupo abelian $G$ es isomorfo a una suma directa de la forma $$ G \cong \mathbb{Z}_{p_1^{k_1}} \oplus \mathbb{Z}_{p_2^{k_2}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{p_n^{k_n}}$$ Un elemento $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ orden $2$ si y sólo si para cada $i$, $x_i$ es el elemento neutro $0$ o tiene orden de $2$$\mathbb{Z}_{p_i^{k_i}}$. El último caso sólo es posible cuando la $p_i = 2$, en cuyo caso $x_i = 2^{k_i-1}$.

En otras palabras, nosotros sólo nos preocupamos de los sumandos directos con $p_i = 2$, así que vamos a ignorar los otros sumandos: $$ G \cong \mathbb{Z}_{2^{k_1}} \oplus \mathbb{Z}_{2^{k_2}} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{2^{k_n}}$$

Hay $2^n$ elementos $x$ con el fin de $2$: exactamente la mitad ($2^{n-1}$) de los que tienen el $i$-ésima componente igual a $0$, y la otra mitad tiene el $i$-ésima componente igual a $2^{k_i-1}$ (esto es algo fácil combinatoria).

De modo que la suma de $y$ de todos los $2^n$ elementos de orden $2$ es $$y = \sum_{x^2 = 1} x = \left( 2^{n-1} \cdot 2^{k_1-1}, 2^{n-1} \cdot 2^{k_2-1}, \ldots, 2^{n-1} \cdot 2^{k_n-1}\right)$$ Si $n \geq 2$,$2^{n-1} \cdot 2^{k_i-1} = 2^{n-2} \cdot 2^{k_i} \equiv 0$$\mathbb{Z}_{2^{k_i}}$.