¿Por qué $A^8=I_3$ implica $A^4=I_3$?

Question

Deje $A\in M_3(\mathbb{Q})$ tal que $A^8=I_3$. Demostrar que $A^4=I_3$

(Denotamos por a $m_X$ el polinomio mínimo de la matriz X y por $p_X$ su polinomio característico y por $gr \space X$ su grado)

La solución es la siguiente:

$1)$ $m_a$ divide $P\in\mathbb{Q}[X]$, $$P(x)=x^8-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$$

$2)$ Desde $A^4\neq I_3$, $p_A$ tiene al menos una raíz común con $x^4+1$

$3)$ Desde $x^4+1$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}[X]$ tenemos que $x^4+1|m_A$

$4)$ $A\in M_3(\mathbb{Q})$ por lo $gr\space m_A\leq3$$gr\space x^4+1=4$ , contradicción

He entendido solamente los puntos de $1)$$4)$. Puede usted por favor me ayudan a entender $2)$$3)$? Están incluso a la derecha?

Answer 1

2) Desde $m_A\mid(x^4-1)(x^4+1)$, cada raíz de $p_A$ es una raíz de $(x^4-1)(x^4+1)$. Si $A^4\neq\operatorname{Id}_3$, luego de la raíz de $x^4-1$ es una raíz de $p_A$. Por lo tanto, $p_A$ debe tener al menos una raíz de $x^4+1$.

3) El polinomio $x^4+1$ es irreducible en a $\mathbb{Q}[x]$ y tiene al menos una raíz común con $m_A$. Desde $x^4+1$ $m_A$ tienen un factor común, $\gcd(x^4+1,m_A)\neq1$. Desde $\gcd(x^4+1,m_A)\mid x^4+1$ e este polinomio es irreducible, $x^4+1\mid\gcd(x^4+1,m_A)$. En particular, $x^4+1\mid m_A$.

Answer 2

Creo que esta versión de el mismo argumento es más claro y no implica contradicción:

• $m_A$ divide $x^8-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)$.

• el grado de $m_A$ es en la mayoría de las $3$ porque $A\in M_3(\mathbb{Q})$.

• Por lo tanto, $m_A$ divide $(x-1)(x+1)(x^2+1)=x^4-1$.

• Escribir $x^4-1=m_A(x) q(X)$.

• A continuación, $A^4-I=m_A(A) q(A)=0$.