$27$ líneas en un cúbicos con la multiplicidad. Contradicción?

Question

Una crítica anterior la pregunta de si hay $27$ líneas en cada cúbicos de superficie permitiendo multiplicidades. Comencé a pensar acerca de esto y ahora estoy realmente confundido como tengo una prueba y un contraejemplo.

En primer lugar, hay cúbicos superficies con infinidad de líneas, que está bien, pero si hay un número finito de líneas cuántos hay ?

Hay una correspondencia (no 1-1)

$$\left\{\begin{aligned} &\text{Cubic Surfaces}\\ &\text{ in %#%#% }\\ \end{aligned}\right\}\leftrightarrow \left\{\begin{aligned} &\text{Lines }\\ &\text{ in %#%#% }\\ \end{aligned}\right\}$$ Donde cada superficie corresponde a las líneas que la línea en la superficie, y las líneas para aquellas superficies que contienen. Este es un irreductible de la correspondencia, la variedad de la izquierda es sólo $\mathbb{P}^3$, por lo que es irreductible, sin puntos singulares, la variedad de la derecha es la Desplumadora de segundo grado en $\mathbb{P}^3$.

Ahora el general cúbicos de la superficie corresponde a $\mathbb{P}^{20}$ líneas, y por la especialización a cualquier superficie específica (que es un simple punto en $\mathbb{P}^5$) $27$ líneas se especializan y llegamos $\mathbb{P}^{20}$ líneas contados con su multiplicidad. (Es un teorema que esto está bien definido si el punto en $27$ es simple, que lo es.)

Por otro lado aquí está mi contraejemplo, (debido a van der Waerden) Vamos a $27$$\mathbb{P}^{20}$3$$f_3(x,y,z)+f_2(x,y,z)=0$f_3$ be a cubic surface in $f_2$ space (written in affine coordinates), where $3$ and $2$ respectivamente.
Y se supone que la superficie tiene un doble punto en el origen. A continuación, para las líneas a través del origen, $ are homogeneous polynomials of degree $ debemos tener

$ and $$ y $x=ta,y=tb,z=tc$$$f_3(a,b,c)=0$6$$f_2(a,b,c)=0$6$ this is the intersection of a cubic curve and a quadratic curve, so $\binom{6}{2}=15$ points in common, which we assume to be distinct. This gives $15$ lines through the origin. For a line not through the origin, take the plane through this line and the origin, it intersects the cubic in the line and another conic which must decompose into two lines, since the origin is a double point. The number of pairs of lines through the origin is $6+15=21$ líneas en total.

Ahora bien, si el primer argumento es correcto, entonces debe haber algo de multiplicidades en estas líneas. Las líneas a través del origen son las intersecciones sencillas de un cúbicos y una cónica, por lo que no pueden ser varios ? Y, en cualquier caso, dos de ellos pueden ser múltiples, desde el avión a través de, a continuación, contendría $ and this gives $ líneas. Además de las líneas no pasa por el origen no pueden ser múltiples, desde el avión a través de ellos y el origen tiene tres líneas distintas.

¿Qué es la verdad aquí ? Cómo resolver este conflicto ?

Answer 1

Usted está confundiendo la multiplicidad de una línea en una intersección de hypersurfaces con su multiplicidad como un punto del esquema de Hilbert de las líneas. En realidad, the6 líneas a través del origen tiene multiplicidad 2 en el esquema de Hilbert.

Para ver esto, observe que, como un suave cúbicos de superficie es $\mathbb{P}^2$ volado en 6 puntos en posición general, la superficie a considerar es el golpe de 6 puntos acostado sobre una cónica en $\mathbb{P}^2$, seguido por la contracción de la cónica. De hecho, un 6-tupla es una intersección de una cónica $f_2$ y un cúbicos $f_3$, y, a continuación, $$ (x:y:z) \mapsto (xf_2/f_3,yf_2/f_3,zf_2/f_3) $$ da un isomorfismo en la singular cúbicos de superficie. A la inversa mapa está dada por la proyección desde el punto singular.

Ahora queda por señalar que el 27 de líneas 6 excepcional líneas de la explosión, el 15 de soledad conexión de los pares de puntos y 6 cónicas a través de 5 de los 6 puntos. La diferencia de la clase de tal cónicas y de las complementarias de la línea excepcional de los contratos hasta el punto, de ahí que sus imágenes en el cúbicos de superficie es la misma línea que pasa por el origen.