Trig ecuación de $\sin(x)+\sin(3x)=0$, las respuestas se dan en una forma factorizada

Question

$\sin(x)+\sin(3x)=0$

Así que para resolver este he intentado lo siguiente:

-Primero me transformó esta expresión de suma de productos porque es igual a cero

$\sin(x)+\sin(3x)=0 => 2\sin(\frac{x+3x}{2})\cdot\cos(\frac{x-3x}{2})=0$

-Segunda parte me puse a

$2\sin(2x)\cos(x)=0$

-Tercera parte: He separado la ecuación en dos partes:

$2\sin(2x)=0$ $\cos(x)=0$

A partir de ahora no sé cómo llegar a las respuestas correctas, que opción debo círculo y por qué:

a) $x=(2k+1)\frac{\pi}{2}$ o $x=\frac{k\pi}{2}$

b) $x=(k+1)\frac{\pi}{2}$ o $x=\frac{k\pi}{2}$

c) $x=(3k+1)\frac{\pi}{3}$ o $x=\frac{3k\pi}{2}$

d) $x=(k-1)\frac{\pi}{2}$ o $x=\frac{3k\pi}{2}$

donde $k$ es cualquier entero.

Answer 1

Sugerencia: Los ceros de $\sin(x)$ ocurren en $k\pi$ para los números enteros $k$. Los ceros de $\cos(x)$ ocurren en $\frac{2k+1}{2}\pi$ para los números enteros $k$.

Solución completa: Los ceros de $\cos(x) = 0$ ocurren donde $x = \frac{2k+1}{2}\pi$ para algunos entero $k$. Y los ceros de $2\sin(2x) = 0$ ocurren donde $2x = k\pi$ para algunos entero $k$, es decir, donde $x = \frac{k\pi}{2}$ para algunos entero $k$. Por lo tanto la respuesta es (a).

Answer 2

\begin{align*}\sin (2x)=0 &\Longrightarrow 2x=k\pi\to x=\frac{k\pi}{2}\\ \cos x=0&\Longrightarrow x= \frac{\pi}{2}+k\pi=\frac{(2k+1)\pi}{2}\end{align*}

Answer 3

Cómo me habría acercado a este problema,

$$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3x$$

$$\sin x + \sin 3x = 4\sin x - 4 \sin^3x = 0 \implies \sin x(1-\sin^2 x) = 0 \implies \sin x \cos^2x = 0$$

$$\implies x = n\pi \text{ or } x = n\pi+\pi/2$$

$$\implies x = 2n\frac{\pi}{2} \text{ or } \frac{(2n+1)\pi}{2} \implies x = k\frac{\pi}{2} \text{ or } \frac{(k+1)\pi}{2}$$

Answer 4

Sugerencia:

$$ \sin \alpha =-\sin \beta \quad \ffi \{\quad \alpha=-\beta+2n\pi \} \quad \mbox{o} \quad \{\alpha=\beta+(2n+1) \pi\} $$

con$, \quad n \in \mathbb{Z}$

Answer 5

Tenemos que resolver $$\sin{x}=\sin(-3x),$$ que da $x=-3x+2\pi k$ o $x=\pi-(-3x)+2\pi k$ donde $k\in\mathbb Z$, que es $x=\frac{\pi k}{2}$ o $x=-\frac{\pi}{2}+\pi k$, lo que nos da la respuesta: $$\left\{\frac{\pi k}{2}\big|k\in\mathbb Z\right\}$$