Demostrar que $\exists \{c_n\}$ monótonamente creciente a $\infty$ tal que $\sum_{i=1}^\infty a_nc_n$ coverges.

Question

Dado un real positivo secuencia $\{a_n\}$ tal que $\sum_{i=1}^n a_i$ converge.

Demostrar que existe una verdadera secuencia $\{c_n\}$ monótonamente creciente a $\infty$ tal que $\sum_{i=1}^\infty a_nc_n$ converge.

Lo que he hecho:

He escrito $$\sum_{i=1}^{N+1}a_ic_i=c_{N+1}\sum_{i=1}^{N+1}a_i-\sum_{i=1}^N(c_{n+1}-c_n)S_n$$

y, a continuación, tratar de probar la convergencia por el criterio de Cauchy. Sin embargo, mi evaluación es que todavía no lo suficientemente bueno. Estoy muy atascado.

Answer 1

Aquí es un enfoque alternativo. Hay una secuencia de enteros positivos $n_1<n_2<n_3<\cdots$ tal que $\sum_{n=n_k}^\infty a_n < 2^{-k}$. Definir $c_n = k$ al $n_k\leq n<n_{k+1}$ ( $n_0=1$ ). A continuación, $c_n\nearrow+\infty$ y

$$\sum_n a_nc_n=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=n_k}^{n_{k+1}-1}a_nc_n\leq\sum_{k=1}^\infty k2^{-k}<\infty.$$

Answer 2

Poner $\displaystyle R_n=\sum_{k\geq n} a_k$. A continuación,$R_n>0$, e $R_n$ disminución $0$$n\to +\infty$. Nos muestran que $\displaystyle c_n=\frac{1}{\sqrt{R_n}}$ (obviamente el aumento de a $+\infty$) de hacer el trabajo.

Tenemos: $$a_n c_n=\frac{a_n}{\sqrt{R_n}}=\frac{R_n-R_{n+1}}{\sqrt{R_n}}\leq \int_{R_{n+1}}^{R_n}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Por tanto, para $N \geq 1$:

$$\sum_{n=1}^N a_n c_n \leq \int_{R_{N+1}}^{R_1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\leq \int_0^{R_1}\frac{dx}{\sqrt{x}}<+\infty$$ Por lo tanto $\sum a_n c_n$ es convergente.