Aditividad finita, atomlessness y contables de la suma

Question

Por lo tanto, estoy tratando de conseguir mi cabeza alrededor cuando usted puede tener finitely pero no countably aditivo de probabilidades.

El ejemplo estándar de un finitely aditivo, pero no countably aditivo espacio es la siguiente extraña distribución de los números naturales. Todos los conjuntos finitos obtener la medida de 0, pero todo el espacio llega a medir 1. Este es finitely aditivo, pero no countably es así, ya que una unión finita de conjuntos finitos es finito, pero una contables de la unión no tiene por qué ser así.

Así que esto me puso a pensar que si tenía una atomless espacio, ejemplos de esta forma sería más difícil de conseguir. ¿Atomlessness además de aditividad finita garantía contables de la suma? Si no, ¿qué falta?

Sé que Villegas (1964) muestra que, para una comparativa de probabilidad de una estructura countably aditivo, las importantes propiedades de la estructura son atomlessness y un cierto tipo de continuidad. Pero no sé de lo relevante que es el de la pregunta actual.

Answer 1

He aquí un ejemplo.

Definir una relación de equivalencia $\sim$ $\wp(\Bbb N)$ $A\sim B$ fib $A\,\triangle\, B$ es finito, donde $\triangle$ es la diferencia simétrica, y deje $\mathscr{B}=\wp(\Bbb N)/\sim$. Para $A\subseteq\Bbb N$ denotar por $[A]$ $\sim$- clase de equivalencia de a $A$. Deje $\mathscr{U}$ libre de ultrafilter en $\Bbb N$. Tenga en cuenta que para cualquier $A\subseteq\Bbb N$, $A\in\mathscr{U}$ iff $[A]\subseteq\mathscr{U}$. Ahora definir un $\{0,1\}$valores de medida $\mu$ $\mathscr{B}$ $\mu\big([A]\big)=1$ fib $A\in\mathscr{U}$. A continuación, $\mathscr{B}$ es atomless, y $\mu$ es finitely aditivo. Sin embargo, $\mu$ no es countably aditivo, ya que es posible partición de $\Bbb N$ en countably infinidad de conjuntos infinitos, ninguno de los cuales es en $\mathscr{U}$.

Añadido: Michael Greinecker ha señalado que la estoy usando una noción de atomless que puede ser diferente del previsto por Seamus. He aquí otro ejemplo que puede ser preferible.

Deje $d:\wp(\Bbb N)\to[0,1]$ ser asintótica de la densidad, y deje $\mathscr{U}$ libre de ultrafilter en $\Bbb N$. Para $A\subseteq\Bbb N$ vamos $$\mu(A)=\mathscr{U}\text{-}\lim_n\frac{|A\cap\{1,\dots,n\}|}n\;.$$ (For basic information on $\mathscr{U}$-limits see this answer by Martin Sleziak.) Then $\mu$ is a finitely additive non-atomic probability measure on $\wp(\Bbb N)$ such that $\mu(A)=d(A)$ whenever $$ tiene una densidad asintótica.