Por qué $|x|$ no es una expresión racional?

Question

Estoy de 9no grado del estudiante, y mi profesor dice que el $|x|$ no es racional expresión ( expresión como $\frac{p(x)}{q(x)}$ s.t $p(x)$ $q(x)\neq 0$ son polinomio), pero él no tenía razón convincente. Uno de mis amigos dijo que es comprobable por el uso de diferencial, pero no sé de cálculo. ¿Hay alguna prueba de este hecho, sin el uso de cálculo?

Answer 1

Si no se polinomios $p$ $q$ tal que $|x|=\frac{p(x)}{q(x)}$ todos los $x\in\Bbb R$, $\frac{p(x)}{q(x)}$ sería definida para todos los $x\in\Bbb R$, e $q(x)$ nunca podría ser $0$. Por otra parte, tendríamos $p(x)=|x|q(x)$ todos los $x\in\Bbb R$. Si $x\ge 0$, esto significa que $p(x)=xq(x)$, y si $x<0$ significa que $p(x)=-xq(x)$.

Deje $r(x)=p(x)-xq(x)$; ciertamente, este es un polinomio, y

$$r(x)=\begin{cases} 0,&\text{if }x\ge 0\\ -2xq(x),&\text{if }x<0\;. \end{casos}$$

Voy a asumir que usted sabe que un polinomio de grado $n\ge 1$ tiene más de $n$ bienes raíces, a pesar de que probablemente nunca has visto una prueba. Nuestra supuesta polinomio $r(x)$, evidentemente, tiene una infinidad de raíces reales, ya que cada uno de los reales negativos es una raíz, por lo que debe ser la constante de la función $r(x)\equiv 0$. Pero, a continuación, $-2xq(x)=0$ por cada $x<0$, y de ello se sigue que $q(x)=0$ por cada $x<0$. Hemos visto al principio que esto es imposible: $q(x)$ nunca puede ser $0$. Esta contradicción muestra que en realidad no hay tales polinomios $p$ $q$ existen, y $|x|$ no es una función racional.

Answer 2

Si el valor de una función polinómica se especifica en una infinidad de puntos, entonces el polinomio es determinado completamente. Por lo tanto, si sólo miramos $x \geq 0$, entonces debemos tener $p(x) = x q(x)$. Del mismo modo, debemos tener $p(x) = -x q(x)$. Pero $x q(x) \neq -x q(x)$ si $q(x) = 0$.

Answer 3

Por ejemplo, debido a una función racional tiene una derivada en cada punto de su dominio, y $\lvert x\rvert$ no tiene uno en $0$.