Probar que existe $a \in E$ tal que $a = f(a)$, asumiendo $d(f(x), f(y)) \le Kd(x,y)$ $K<1$

Question

Vamos $f: E \rightarrow E$, $E$ un espacio métrico completo. Asumir que no existe $K$ tal que $0 < K < 1$ $d(f(x), f(y)) \le Kd(x,y)$ todos los $x,y \in E$. Demostrar que no existe $a \in E$ tal que $a=f(a)$.

Este fue un problema que me dio un amigo, como yo soy la auto estudio de análisis real. Estoy segura de cómo proceder con esta pregunta. Podría alguien ayudarme? Gracias!

Answer 1

Intenta demostrar que $x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),\ldots$ es una secuencia de Cauchy. Deje $a$ ser su límite. A continuación, ver si usted puede demostrar que para cada $\varepsilon>0$, $d(a,f(a))<\varepsilon$.

Una función de $f$ para los que exista $K$ $0$ $1$ tal que para todos los puntos de $x,y$ ha $d(f(x),f(y))\le Kd(x,y)$ se llama una contracción.