¿La categoría de afín $k$-variedades finito de productos?

Question

Se utilizarán las definiciones de esta pregunta. Deje $\mathrm{Aff}(k)$ ser la categoría de afín $k$-variedades. Deje $X, Y$ ser objetos de $\mathrm{Aff}(k)$. ¿El producto $X\times Y$ existen en $\mathrm{Aff}(k)$?

Answer 1

Hay antiequivalence de categorías entre afín a los esquemas y los anillos, el envío de un esquema de $X=Spec(A)$ a su anillo de funciones globales $A=\Gamma(X, \mathcal O_X)$.
En esta correspondencia el producto $Spec(A)\times Spec(B)$ de los dos esquemas se corresponden con el producto tensor $A\otimes B$ de sus anillos.
Usted puede "restringir" este antiequivalence a $k$- de los esquemas y de esta manera obtener un antiequivalence entre afín $k$-planes y $k$-álgebras de enviar el producto (más $Spec(k)$ ) $X\times_k Y$ de dos a $k$-esquemas $X,Y$ para el producto tensor de álgebra $\Gamma(X, \mathcal O_X)\otimes _k \Gamma(X, \mathcal O_Y)$.

Y ahora comienza la diversión!

Dado que el $X$ $Y$ tiene algún tipo de propiedad, su producto puede o no puede tener esa propiedad.
Por ejemplo, el producto de dos enteros $k$-esquemas es una parte integral del esquema de si $k$ es algebraicamente cerrado.
Para obtener más general $k$ este resultado se produce un error: por ejemplo, durante la $\mathbb R$ tenemos $Spec(\mathbb C)\times_\mathbb R Spec(\mathbb C)=Spec(\mathbb C )\sqcup Spec(\mathbb C)$, que se reduce, por tanto, no integral, a pesar de que sus factores son parte integral . (Véase también la última sección de este post).
Y si $k$ es un imperfecto campo de la característica $p$, con una puramente inseparable de la extensión de $K=k(a)$ satisfacción $a\notin k$ pero $a^p \in k$, el esquema de $Spec(K)\times_k Spec(K)$ no se reduce y, por tanto, no integral, a pesar de que sus factores son parte integral .
[No reducedness de la siguiente manera:
$\sqrt [p]{a}\otimes 1-1\otimes \sqrt [p]{a} \neq 0$ pero $(\sqrt [p]{a}\otimes 1-1\otimes \sqrt [p]{a} )^p= a\otimes 1-1\otimes a =0$ ]

Un estudio detallado de estas preguntas se pueden encontrar en EGA Capítulo IV (Seconde Partie) §4, en el que la teoría de campo juega un papel crucial.

Una posición ideológica.
Tu post vinculado se refiere a la lengua de Weil Fundaciones.
Como la mayoría de los contemporáneos algebraica de los geómetras considero que Grothendieck del esquema de la teoría ha relegado Weil teoría a un interesante episodio en la historia de la geometría algebraica, pero no tiene lugar en la matemática contemporánea, de modo que yo no quiero tener nada que ver con ese idioma.

La respuesta a Makoto REAL de la pregunta!
Sorprendentemente, el pleno de la subcategoría de los esquemas con los objetos de reducción de esquemas finito de productos: el producto de dos reducido esquemas $X,Y$ es la reducción de la $(X\times Y)_{red}$ de su producto $X\times Y$ en la categoría de esquemas .
Esencialmente, esto es debido a que los morfismos $X\to X\times Y$ factores a través de $(X\times Y)_{red}$ si $X$ es reducido y de manera similar para $Y$ .
El mismo resultado se mantiene para la reducción de finitely generadas $k$-esquemas.

Un ejemplo fascinante
Considerar la puramente inseparable de la extensión de $K=k(a)$ por encima de ($a\notin k, a^p\in k$).
El subproducto $K\sqcup K$ en la categoría de $k$-álgebras de es $K\otimes_k K \cong K[S]/(S-a)^p$, un no-reducción de $k$-álgebra.
Sin embargo, el subproducto en la categoría de reducción de $k$-álgebras también existe y es $K\sqcup'K=K$ (con morfismos $K\to K\sqcup'K=K$ la identidad).
La razón de esta enigmática resultado es que, dado un reducido $k$-álgebra $L$, hay un morfismos de $k$- álgebras $K\to L$, y este morfismos debe enviar $a\in K$ a la única $p$-ésima raíz de $l\in L$$a^p\in k$ .
Tomando $Spec$'s, usted recibirá un ejemplo fascinante de producto en la categoría de reducción afín $Spec (k)$-esquemas.