La definición de los estados límite (Spivak):
La función de $f$ se acerca al límite $l$ cerca de $a$ significa que: para cada $\varepsilon >0$ hay algo de $\delta >0$ tal que, para todos los $x$, si $0< |x-a|<\delta$ ,$|f(x)-l|<\varepsilon$.
y si no es cierto que $f$ enfoques $l$ cerca de $a$:
Hay algunos $\varepsilon>0$ tal que para cada a $\delta>0$ no es algo de $x$ que satisface $0<|x-a|<\delta$ pero no $|f(x)-l|<\varepsilon$.
Hay algunos libros de texto que proporcionan la definición de límite con la condición adicional "para todos los $x \in D_{f}\dots$", pero a mí me parece que Spivak no es necesario.
Así que, suponiendo que esta condición no es ni lógicamente necesario ni implícita, supongamos $\lim_{x\to a^{+}}g(x)=L$ para algunos la función $g:[a,b]\to \mathbb{R}$. Con el fin de verificar que en realidad $\lim_{x\to a}g(x)=L$, se pudo demostrar que el negado de forma que el límite de la definición anterior es falsa por $g$ cerca de $a$. Sin embargo, cuando $x<a$, $x$ está fuera de dominio de $g$, e $f(x)$ no está definido. Así que, tal vez, no es el caso que tenemos una vacuously declaración verdadera, porque la prueba de la veracidad de una expresión que contiene a $|f(x)-L|$ no tiene un sentido lógico.
Lo que sucede en una instrucción lógica cuando una variable libre toma un caso particular que convierte una expresión de la misma en tonterías? La declaración debe ser ignorado como un todo?
En el ejemplo anterior, al $x<a$, para cualquier $\delta>0$ hay un montón de $x$ que satisfacer $0<|x-a|<\delta$. Pero, ¿es cierto que $|f(x)-L|<\varepsilon$?
Por que lógico manera significa que la definición de límite todavía se aplica al $g$ enfoques $a$?
