¿Cómo puedo encontrar el Nash-equilibrio de la siguiente juego de suma cero?

Question

Quiero encontrar la Nash-equilibrio de la siguiente juego de suma cero. $$A=\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&3\\1&-3&0\end{bmatrix}$$

He utilizado el Teorema Minimax.

$$min_{x \in X} max_{y \in Y} E(x,y)= min_{(u,x)} \{u; u \ge \sum^{n}_{i=1}a_{ij}x_i, \sum^{n}_{i=1}x_i=1, x_i \ge 0 \} $$

$$max_{y \in Y} min_{x \in X} E(x,y)=max_{(w,y)} \{w; w \le \sum^{m}_{j=1}a_{ij}y_j, \sum^{m}_{j=1}y_j=1, y_j \ge 0 \} $$

$$E(x,y)=x^TAy$$

Puedo conseguir dos lineal programas

$$min \, u$$ $$-u-2x_2+x_3 \le 0 $$ $$-u+2x_1-3x_3 \le 0 $$ $$-u-x_1+3x_2 \le 0 $$ $$ x_1+x_2+x_3 =1 $$ $$ x_1,x_2,x_3 \ge 0 $$

y

$$max \, w $$ $$ w-2y_2+y_3 \le 0 $$ $$w+2y_1-3y_3 \le 0 $$ $$w-y_1+3y_2 \le 0 $$ $$ y_1+y_2+y_3 =1 $$ $$ y_1,y_2,y_3 \ge 0 $$

Entonces, ¿cómo puedo encontrar el Nash-equilibrio?

Answer 1

Vamos a un jugador de la estrategia mixta ser $(p,q,r)$. El uso de la indiferencia condición mixta, NE, el otro jugador rentabilidades de cada una pura estrategia debe satisfacer $$ \begin{aligned} -2q+r&=2p-3r\\ 2p-3r&=-p+3q\\ 1-p&=q+r \end{aligned} $$ Línea 1 implica $$ 2r=p+q $$ La línea 2 implica $$ p=q+r $$ Junto con la línea 3, se puede deducir $$ p=\frac12,\quad q=\frac16,\quad r=\frac13. $$ Así que esta es la mezcla de NE con simétrica estrategias.